CRC的校验原理
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一、基本原理
CRC检验原理实际上就是在一个p位二进制数据序列之后附加一个r位二进制检验码(序列)，从而构成一个总长为n＝p＋r位的二进制序列；附加在数据序列之后的这个检验码与数据序列的内容之间存在着某种特定的关系。如果因干扰等原因使数据序列中的某一位或某些位发生错误，这种特定关系就会被破坏。因此，通过检查这一关系，就可以实现对数据正确性的检验。
二、几个基本概念
1、帧检验序列FCS（Frame Check Sequence）：为了进行差错检验而添加的冗余码。
2、多项式模2运行：实际上是按位异或(Exclusive OR)运算，即相同为0，相异为1，也就是不考虑进位、借位的二进制加减运算。如：10011011 + 11001010 = 01010001。
3、生成多项式（generator polynomial）：当进行CRC检验时，发送方与接收方需要事先约定一个除数，即生成多项式，一般记作G（x）。生成多项式的最高位与最低位必须是1。常用的CRC码的生成多项式有：
CRC8=X8+X5+X4+1
CRC-CCITT=X16+X12+X5+1
CRC16=X16+X15+X5+1
CRC12=X12+X11+X3+X2+1
CRC32=X32+X26+X23+X22+X16+X12+X11+X10+X8+X7+X5+X4+X2+X1+1
每一个生成多项式都可以与一个代码相对应，如CRC8对应代码：100110001。
三、CRC检验码的计算
设信息字段为K位，校验字段为R位，则码字长度为N(N=K+R)。设双方事先约定了一个R次多项式g(x)，则CRC码：
V(x)=A(x)g(x)=xRm(x)+r(x)
其中: m(x)为K次信息多项式， r(x)为R-1次校验多项式。
这里r(x)对应的代码即为冗余码，加在原信息字段后即形成CRC码。
r(x)的计算方法为：在K位信息字段的后面添加R个0，再除以g(x)对应的代码序列，得到的余数即为r(x)对应的代码(应为R－1位；若不足，而在高位补0)。
计算示例
设需要发送的信息为M = 1010001101，产生多项式对应的代码为P = 110101，R＝5。在M后加5个0，然后对P做模2除法运算，得余数r(x)对应的代码：01110。故实际需要发送的数据是101000110101110。
四、错误检测
当接收方收到数据后，用收到的数据对P（事先约定的）进行模2除法，若余数为0，则认为数据传输无差错；若余数不为0，则认为数据传输出现了错误，由于不知道错误发生在什么地方，因而不能进行自动纠正，一般的做法是丢弃接收的数据。
五、几点说明：
1、CRC是一种常用的检错码，并不能用于自动纠错。
2、只要经过严格的挑选，并使用位数足够多的除数 P，那么出现检测不到的差错的概率就很小很小。
3、仅用循环冗余检验 CRC 差错检测技术只能做到无差错接受（只是非常近似的认为是无差错的），并不能保证可靠传输。
有一点要特别注意，文献中提到的生成多项式经常会说到多项式的位宽（Width，简记为W），这个位宽不是多项式对应的二进制数的位数，而是位数减1。比如CRC8中用到的位宽为8的生成多项式，其实对应得二进制数有九位：100110001。另外一点，多项式表示和二进制表示都很繁琐，交流起来不方便，因此，文献中多用16进制简写法来表示，因为生成多项式的最高位肯定为1，最高位的位置由位宽可知，故在简记式中，将最高的1统一去掉了，如CRC32的生成多项式简记为04C11DB7实际上表示的是104C11DB7。当然，这样简记除了方便外，在编程计算时也有它的用处。
对于上面的例子，位宽为4（W=4），按照CRC算法的要求，计算前要在原始数据后填上W个0，也就是4个0。
位宽W=1的生成多项式(CRC1)有两种，分别是X1和X1+X0，读者可以自己证明10 对应的就是奇偶校验中的奇校验，而11对应则是偶校验。因此，写到这里我们知道了奇偶校验其实就是CRC校验的一种特例，这也是我要以奇偶校验作为开篇介绍的原因了。
仔细分析CRC计算的数学性质后我们可以多位多位计算，最常用的是一种按字节查表的快速算法。
该算法基于这样一个事实：计算本字节后的CRC码，等于上一字节余式CRC码的低8位左移8位，加上上一字节CRC右移 8位和本字节之和后所求得的CRC码。
如果我们把8位二进制序列数的CRC(共256个)全部计算出来，放在一个表里，编码时只要从表中查找对应的值进行处理即可。
