P8347 「Wdoi-6」另一侧的月 题解
P8347 「Wdoi-6」另一侧的月 题解
第一次自己思考出来紫题，题解纪念一下。
下面为大家讲解如何一步步推到最终结论：
首先，原树没有根，不妨设它的根为 \(1\)，将它转化成有根的，便于操作。
为了方便描述，我们称将一个非根节点的点的父亲删去，保留含这个点的连通块这个操作为截取操作（就是保留一棵子树）；相反，若是将一个非根节点的点删去，保留含这个点父亲的连通块，我们就称之为删除操作（就是把一棵子树丢掉）。
另外，我们称一个有偶数个儿子的节点为偶点，奇数个儿子的点为奇点。注意：所有叶子结点都算偶点。
我们可以先看深度为 \(2\)（根节点深度为 \(1\)，下同）的树（菊花图，也就是特殊性质 \(A\)）。容易发现，你肯定不能删根节点，那么就只能一个个删叶子结点。然后就能得出：如果有奇数个叶子结点，那么先手必败，偶数个叶子结点相反。
显然，如果原树有一个点所有儿子都是叶子结点，且这个点是偶点，那我们肯定不能将这个点的子树截取下来（不然就成了偶数个叶子结点的菊花图了，后手必败）。
而且我们还可以得出一个重要结论：如果原树有一个点所有儿子都是叶子结点，且这个点是奇点，那么先手一定可以直接把这个点的子树截取下来，那么后手就成为这个菊花图的先手，必败。所以如果有这么样的一个点，先手就必胜。所以，我们中途也一定要保证不能出现这种点，即如果原图没有这种点，中途就不能删任何叶子结点。
接着，我们将深度推广为 \(3\)（这里假设只有深度为 \(3\) 的点才叫叶子结点，或者假设每个深度为 \(2\) 的点都有至少一个儿子）。显然，不能删叶子结点， 也不能保留一棵子树，那就只能一棵棵地删去子树。也能得出和菊花图类似的结论：如果根节点为奇点，先手必败，偶点相反。
所以像菊花图一样，如果能找到个根节点为奇点的这种子树，那么截取下来，先手必胜；否则就不能截取，也不能删这棵子树中任何一个结点（不然别人就可以截取下来获胜）。
继续，若深度为 \(4\)，如果树中有上述的这种子树的话（也就是除根结点外所有点都是偶点，当然树的深度是小于等于 \(3\) 的），那么直接截取，否则只能一个个删深度为 \(2\) 的点的子树，同样，如果根节点为奇点，先手必败，偶点相反。
关键来了：我们可以以此类推下去，如果一棵子树的结点全是偶点（下称全偶图），那么我们就不能删其中任何一个结点，也不能截取这种树。如果有一个结点的所有儿子的子树都是全偶图，但这个点是奇点，那么只能一个个删它的儿子，最后先手必败。
得到上述结论后就好办了，如果真的有一个结点的所有儿子的子树都是全偶图，但这个点是奇点的话，那么直接将这个点截取下来，那么你就赢了（可以证明这种点一定存在，除非整个图就是一个全偶图，此时只需要删除一个深度为 \(2\) 的结点的子树即可）。但如果原树的根结点就是这种结点的话，你就输了（就相当于出题人把这种树给了你）。
所以结论就是，如果根结点是奇点，其它点是偶点，那么先手必败，否则必胜。
代码就非常简单了
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
bool vis[N],b;
int siz[N],t,n;
vector<int> v[N];
void dfs(int x)
{
vis[x] = 1;
for(int i = 0;i < v[x].size();i++)
{
int nw = v[x][i];
if(!vis[nw]){dfs(nw);siz[x]++;}
}
if(x!=1&&(siz[x]&1))b = 0;
}
int main()
{
cin >> t;
while(t--)
{
cin >> n;
memset(vis,0,sizeof vis);memset(siz,0,sizeof siz);
b = 1;for(int i = 1;i <= n;i++)v[i].clear();
for(int i = 1;i < n;i++)
{
int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
v[x].push_back(y);v[y].push_back(x);
}
dfs(1);puts(b&&(siz[1]&1)?"Luna":"Hifuu");
}
return 0;
}
\(5.16 :\) 突然发现一种简单的写法：如果根结点以外的点是偶点，那么加上父亲就相当于有奇数个点和它相连。那么后手赢当且仅当无根树所有点的度数都为奇数。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
int s[N],n,t;
int main()
{
cin >> t;
while(t--)
{
memset(s,0,sizeof s);
cin >> n;bool b = 0;
for(int i = 1;i < n;i++)
{
int x,y;cin >> x >> y;
s[x]++;s[y]++;
}
for(int i = 1;i <= n;i++)
if(!(s[i]&1))b = 1;
puts(b?"Hifuu":"Luna");
}
return 0;
}
