CF1523E Crypto Lights 题解

CF1523E Crypto Lights 题解

传送门。

题目大意：有 $n$ 个台灯，初始时都是暗的，每次随机点亮一个暗台灯，若点亮后存在一个长度为 $k$ 的连续段有大于一个台灯被点亮则立刻停止，求期望点亮多少台灯。

(就是直接把原题翻译搬过来了)

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很明显的期望dp，状态定义也很明显，设 $f_i$ 表示第 $i$ 次停止的概率，很显然最终答案就是 $\sum_{i=1}^{n}f_i\times i$。

但是这个 $f_i$ 非常难求，所以考虑转化一下：

设 $s$ 是 $f$ 的后缀和数组，即 $s_i=\sum_{j=i}^{n}f_i$，那么最后要求的是 $\sum_{i=1}^{n}s_i$。

由 $s$ 的定义可得：$s_i$ 也就相当于第 $i-1$ 次没有停止的概率，这个就比较容易求了。

算概率肯定要知道总可能数和符合条件的数量。总可能数很显然是从 $n$ 个灯里面选出 $i-1$ 个，即 $C_{n}^{i-1}$。

现在就是要求从 $n$ 个灯里面选出 $i-1$ 个灯，任意两个灯之间都至少有 $k-1$ 个灯。

我们可以考虑把这 $k-1$ 个灯先拿出来，算方案数，然后再在任意两个灯之间插入 $k-1$ 个灯。

接下来就很好算了，一共有 $i-2$ 个空隙，所以总共是 $n-(k-1)(i-2)$ 个，然后选出 $i-1$ 个，所以一共就是 $C_{n-(k-1)(i-2)}^{i-1}$。

那么最终答案就是 $\sum_{i=1}^{n}\frac{C_{n-(k-1)(i-2)}^{i-1}}{C_{n}^{i-1}}$。

代码过于简单，就不放了。