【2020牛客多校】2020牛客暑期多校训练营（第三场）E-Two Matchings——复杂思维与简单dp
E-Two Matchings
比赛期间写博文，队友我家挖祖坟
数论只会g c d，队友AC我挂机
注意本文中的部分字母和原文稍有不同，请注意！
题意
定义序列 \(a\) ，满足如下要求
- 长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 由 \(1, 2, 3... n\) 组成
- \(a_{a_i} = i\)
- \(a_i \neq i\)
定义一个字符串的费用为\(\sum_{i=1}^{n}w_i - w_{a_i} / 2\) ， \(w\) 为给出的权值数组
求两个满足上述对序列 \(a\) 的描述的序列 \(p, q\)，同时还要满足 \(p_i \neq q_i\) 对于每一个 \(i\) 都成立
则这两个序列的费用和的最小值是多少
分析
根据条件
- 长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 由 \(1, 2, 3... n\) 组成
- \(a_{a_i} = i\)
- \(a_i \neq i\)
可以得到序列是由基础序列 \(1, 2, 3...n\) 通过进行两两对调得到，且每个值进行且只进行一次对调。（这里就不仔细证明了，应该……在打这个比赛的人应该都能理解吧）
而我们需要得到的就是两个费用最小的串，即最小串和次小串
注意，接下来的讨论仅讨论排序后的下标，即如果写着 \(1\) 则指代 sort 后的数组 \(w\) 中最小的值
最小值
首先是最小的值，那很明显，把 w 数组排序后，间隔着相减就可以得到，例如下面已经排序后的下标序列：
我们可以得到其最小的解为
我们暂时不去处理这个解，保留原样
次小值
接下来是次优解，首先应当保证其每一位的值不相同
由于我们已经将最小值的组合取完了，则次优解就有了非常多的限制
我们可以“旋转”这个数列得到
把这个“旋转”暂时称为 \(6-rotation\)，指代 \(6\) 个元素的旋转
而此时即为次优的解。
证明
我们以六个数字的数列来证明上述操作
首先用 \(-\) 表示这个值作为其所在的交换中的较小值， \(+\) 表示这值作为其所在的交换中的较大值
例如最小值可以表示为
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| - | + | - | + | - | + |
我们并不需要具体考虑哪个值与哪个值交换，因为最终的求和结果是一样的，即上面的值与下面的符号结合后相加就是最终结果。
除去最小解后，我们只有以下两种组合方法
| 下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 最小值 | - | + | - | + | - | + |
| 方案1 | - | - | + | - | + | + |
| 方案2 | - | - | - | + | + | + |
| 错误方案 | - | - | + | + | - | + |
这里举例一个错误的方案，虽然看起来此方案是与最小值方案不同，但是注意一下最后两个值，无论这个错误方案怎么组合，\(5-6\) 必然要发生组合并发生交换，则与最小值的方案出现重复，则不行。
那么我们比较一下这两个方案哪个更优
（使用分数线仅用于视觉上更好的体现上下的对比效果，并无除法运算思想，下同）
注意，这里不能取 \(abs\) 因为在配对的时候我们已经保证了右边的加号匹配左边的减号，即必定为正数
很明显，方案1更优，即上方的次优解
（感谢 @yyymmmi 和 @hnust_zhangpeng 指出错误，现已更正）
合并最小值和次小值
我们将两个解相加发现最终结果为
长度不及 \(6\) 的时候
而对于长度仅为 \(4\) 的串，只能 \(4-rotation\) ，即
此时的最终结果为（过程忽略）
长度为\(8\)的时候
那么我们再往长度增长的方向考虑，当 \(n = 8\) 时，我们有两个方案，
- 两个 \(4-rotation\) （ \(1234\) 和 \(5678\) ）来旋转它
- 两个 \(4-rotation\) （ \(1278\) 和 \(3456\) ）来旋转它
- 一个 \(8-rotation\) 来旋转它
注意，此题是不存在 \(2-rotation\) 的，因为这毫无意义，所以 \(n = 8\) 时，没有一个 \(6-rotation\) 和一个 \(2-rotation\) 这样的组合。
先比较一下两个 \(4-rotation\)：
我们选择使用方案 \(1\)
接下来是方案 \(1\) 和方案 \(3\) 的比较
此时证明得到方案 \(1\) 在三个方案内最优，此时 \(n =8\) 时的答案为：
同时我们得到了一个结论：仅存在 \(4-rotation\) 和 \(6-rotation\) 两种旋转，如果存在 \(8-rotation\) 则可以将此 \(8-rotation\) 分解为两个 \(4-rotation\) 可以更优。
长度更长的时候
当 \(n \geq 10\) 时，即可以将整个串分解成多个 \(4-rotation\) 和多个 \(6-rotation\) 组成。
那么得到了 \(dp\) 的递推公式：dp[i] = min(dp[i - 4] + v[i - 1] - v[i - 4], dp[i - 6] + v[i - 1] - v[i - 6])
注意 \(dp\) 的初始值有三个：\(n = 4, n = 6, n = 8 \space (防止n = 8的时候出现2-rotation)\)
AC code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long dp[200100];
void solve() {
int T;
cin >> T;
for (int ts = 0; ts < T; ++ts) {
int n;
cin >> n;
vector<long long> v;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
long long tmp;
cin >> tmp;
v.push_back(tmp);
}
sort(v.begin(), v.end());
dp[0] = 0;
dp[4] = v[3] - v[0];
dp[6] = v[5] - v[0];
dp[8] = v[7] - v[4] + dp[4];
for (int i = 10; i <= n; i += 2)
dp[i] = min(dp[i - 4] + v[i - 1] - v[i - 4], dp[i - 6] + v[i - 1] - v[i - 6]);
cout << dp[n] * 2 << endl;
}
}
signed main() {
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
#ifdef ACM_LOCAL
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
int test_index_for_debug = 1;
char acm_local_for_debug;
while (cin >> acm_local_for_debug) {
if (acm_local_for_debug == '$') exit(0);
cin.putback(acm_local_for_debug);
if (test_index_for_debug > 20) {
throw runtime_error("Check the stdin!!!");
}
auto start_clock_for_debug = clock();
solve();
auto end_clock_for_debug = clock();
cout << "Test " << test_index_for_debug << " successful" << endl;
cerr << "Test " << test_index_for_debug++ << " Run Time: "
<< double(end_clock_for_debug - start_clock_for_debug) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
cout << "--------------------------------------------------" << endl;
}
#else
solve();
#endif
return 0;
}
事后发现其实代码有越界的问题……但是它AC了
