初识图论概念和模型
图结构的基本概念，定理和问题
图结构是计算机中最重要最复杂的一类数据结构
本篇重点讲解图论的基本概念，建立起对图结构的直观看法
阅读之前
本文是系列文章的其中一篇，关于前后文请参见图论专栏-导读
什么是图
在很多计算机应用里，由相连的结点所表示的模型起到了关键的作用，这一类模型通常由多对多关系组成，其背后的抽象结构就是图。图结构是一种非常重要的数据模型，往往直接和现实世界的问题模型相关联，图论算法是数据结构算法中的精粹，是解决许多重要的实际问题的基础
图论最初被人关注的问题很简单，当我们将个体抽象成一个个相连接的结点后，自然而然产出了一系列问题：通过这些连接能否从一个结点到达另一个结点？有多少结点和指定结点相连？两个结点中最短的连接是哪一条？
有意思的是，这些看似非常简单的问题恰恰构成了图论算法的核心，当我们深入学习图论算法后，会发现这些算法其实都很简洁，且结构性很强，图论算法的代码通常很短但是很有意思
下表给出了图结构的一些典型应用：
| 应用 | 描述 | 结点 | 连接 |
|---|---|---|---|
| 地图 | 公路网是典型的图，最出名的就是最短路径算法 | 交叉路口 | 公路 |
| 网络内容 | 各个网站之间的超链接指向形成了一张图 | 网页 | 超链接 |
| 电路 | 电路的元器件连通走向 | 元器件 | 导线 |
| 任务调度 | 内核的CPU任务往往有前驱性，可以形成前驱图 | 任务 | 限制条件 |
| 商业交易 | 在信息化交易体系中，图可以表示各个产品的资金流向，帮助投资人理清关系 | 客户 | 交易 |
| 配对 | 学生可以申请加入机构 | 学生 | 申请 |
| 计算机网络 | 类似公路问题，网络算法总是希望找到最快的路径来传递报文 | 网站 | 物理连接 |
| 软件 | 最著名的问题恐怕是循环依赖了，利用的就是图的环路问题 | 方法 | 调用关系 |
| 社交网络 | 朋友网络是一种图，大型公司通常是用这个图来进行好友推荐 | 人 | 友谊关系 |
认识图论：从一个想过河的人说起
前文说过，很多现实问题，都可以抽象成有关的数学集合和二元关系问题，这里我举一个经典的“人狗羊菜问题”（又称过河问题）为例，就是说一个人带着一只狗，一只羊和一捆菜准备过河，但是河上只有一只小船，承重有限，人每次过河只能带一样东西，但是：
- 不能把狗和羊同时单独留在一边（狗会吃掉羊）
- 不能把羊和菜同时单独留在一边（羊会吃掉菜）
问：找到一个策略，将人狗羊菜都带到河的另一边且不损失任何物件？
在这个问题中，我们拥有4个实体对象，也就是人，狗，羊和菜，我们建立一个二元集合(X,Y)，也就是对于(人狗羊菜,0)表示人狗羊菜都在岸的一边，有人看着相安无事，这一个称为“合法局面”，而另一边是空的，如果是(人狗,羊菜)则表示一边是人狗，另一边是羊和菜，羊吃掉了菜，方案失败，这个称为“非法局面”，除此之外的合法局面还有(0,人狗羊菜)，(人羊,狗菜)，(菜,人狗羊)等等，如果两个合法局面之间可以直接转换，那我们就画一条边，表示它们有直接关系R，由于R是对称的（A->B等价于B->A），所以使用直线连接而不是箭头，于是获得下图：
本题这个图又叫“局面转移图”，或者“状态转移图”
观察这个图形，不难发现，图的左右两端是我们问题的起点和终点，只要沿着左端，按照沿路结点的顺序来运送物件，就可以成功运送物件到河岸且无损失（也就是从图的左端点，到图的右端点）。同时观测到这个方案其实有两个，选择哪个都可以解决这个“人狗羊菜”问题
至此我们利用图论解决了第一个问题，想必对图论也有了一个较为直观的感受，其实不难看出，应用图论模型来解决问题其实有一定的步骤：
- 建立顶点集：根据问题，建立合适的顶点集，顶点往往代表一个状态或者实体
- 建立边集：在顶点集的基础上，根据条件限制，确认边集（顶点之间的关系，边是关系的具象化）
- 建立有效模型：在顶点集和边集的模型基础上，并尝试讨论该图是否一些具体性质，如连通性（A点和B点是否有可达通路），优化路径（A点到B点有多条路时是否有一条路比其它路短）
- 输出有效数据：根据图论拥有或者可能拥有的性质，建立算法步骤，获得解决问题需要的具体数据，如A点和B点若连通，输出其具体的沿途路径，若有可能多条路径，输出路径数目
值得注意的是，实际应用中，图论问题往往是某个复杂问题的子问题（如正则的FSM最后其实就是图的顶点可达性问题），步骤可能不完全一致，但是要点都是一致的
在上文的人羊狗菜问题中，我们也可以看到，一个图形，可能拥有众多特性，如短视性（每个顶点只能和直接相连的顶点移动），选择性（可用方案往往有多个）和对称性（A可到B，则B可到A），讨论这些性质的有无是一个图的重要内容，也是下节的重点
图的重要概念
图结构在应用时种类繁多，尤其灵活，仅凭上节的粗糙模型是无法完整描述并解决图论问题的，必须使用正确严谨的逻辑语言对其进行描述。图的概念众多，基本概念主要分为3类：
- 点边模型
- 路径和连通性
- 子图
图论原本是数学分支，详细之处还请参考严谨离散数学教材，我这里仅作数据结构方面的解释
图的集合定义
设一个图为G，由顶点集V和边集E组成，记为G=(V,E)，其中V(G)表示图G中顶点的非空有限集，E(G)表示图G中顶点之间的关系（边）集合，每个关系（边）都是一个有效的顶点对。对于一个图G，若V={v1,v2,v3 ...}，其顶点数目为图G的阶，记作|V|，且有E={(u,v)|u∈V,v∈V}，记作|E|为该图的边数
线性表和二叉树都可以为空，但是图不可以为空（此处指顶点集必须非空，因为顶点代表实体，但是边集可以非空，也可以空，此时图只有结点没有边）
图的有向性
前文提到，边是图中顶点的一个二元关系，在形式上表示为一个二元关系{v,w}，其中v和w是否表达先后关系决定图是否有向
当图G为有向图时，边为有向边（或者弧），有向边是顶点的有序对，记为<v,w>，作图为箭头，且<v,w>≠<w,v>。对于<v,w>，其中v和w是顶点，其中v称为弧尾，w称弧头，<v,w>称从顶点v到顶点w的弧，其表示v->w的一条有向边，表达上称v邻接到w或者w邻接自v
设有向图G1=(V1,E2)表示有V1={1,2,3}和E1={<1,2>,<2,1>,<2,3>}，则有作图：
当图G为无向图时，边为无向边（简称边），无向边是顶点的无序对，记为(v,w)，作图为直线，且(v,w)=(w,v)。对于(v,w)，其表示等价于(w,v)，其中v和w是顶点，其中v和w称互为邻接，边(v,w)依附于顶点v和w，其表示v<->w的一条无向边
设无向图G2=(V2,E2)表示有V2={1,2,3,4}和E2={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}，则有作图：
图的有向性其实表示了顶点之间关系的一些限制，比如当你表示地铁站的布局图时，闸机就是一个单向通行的路径，形式上是有向图路径，其通行是单向的，表示家族谱系时同样，每个人只有一个父亲。在数据结构的表示上，其实单链表是一个有向图，每个结点只有一个后驱指针，其只能指向一个后驱结点，并被一个前驱结点指向，双向链表则是一个无向图，既有后驱指针也有前驱指针，每对相邻结点都是互相指向的，所以从结构上来看，无向图其实是一个特殊的有向图（每两个连通的结点都有两条弧，一来一去），但是在实际讨论时，我们还是分开来的，可以避免一些细节问题，但是在本质上我们要明白，其实它们区别不大，甚至相当多算法的无向图版本和有向图版本，代码都可能长一样
简单图和完全图
当图G满足：
- 不存在重复边
- 不存在顶点到自身的边
则称该图为简单图，非简单图称多重图。数据结构中不加说明，默认只讨论简单图
简单图有形式简洁性，当我们讨论苏州是否可以到南京时，你有1条路还是20条路关我p事，然后你告诉我还有条路能出了苏州城绕城门一圈回到苏州？？？
当无向图满足，任意两个顶点之间都存在边时，称无向完全图（完全图又称简单完全图，简单性是完全性的前置条件），含有n个顶点的无向完全图有0.5*(n-1)*n条边。当有向图满足，任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧时，称有向完全图，含有n个顶点的有向完全图有(n-1)*n条弧
一个无向完全图和一个有向非完全图：
顶点的度和边权
度是衡量图中顶点交流性的指标（顶点相连的边越多，交流性越强）。对于无向图来说，某顶点的度其实就是其拥有的边的数目，记作TD(v)，假设某无向图有n个顶点和e条边，有∑TD(v)=2*e，也就是无向图所有顶点的度之和等于边数的2倍。对于有向图来说，某顶点的度分为出度OD(v)和入度ID(v)，假设某有向图有n个顶点和e条边，有∑ID(v)=∑OD(v)=e，也就是无向图所有顶点的出度之和等于入读之和，数值为边数
一般来说，当图
G满足|E|<|V|*log(|V|)时，称稀疏图（也就是点多边少），反之称稠密图（点少边多），这在算法选型时很重要，因为部分算法在稀疏图上性能好，另一些在稠密图上性能好
在一些图中，边可以拥有一个具有某种意义的数值，该数值称该边的权值，该边称带权边，这个图称为带权图，又称网。通常来说，边的权代表了通过这条边所需要的“代价”
路径和连通性
在直观上，图就是一堆互相连接的点，用来表示某个现实模型，我把之前“人狗羊菜”的图改动了一下：
顶点v1到顶点vn的一条路径（或者通路）是指顶点的可通过序列[v1,v2...vn]，路径上边的数量称路径长度。顶点之间的最短路径长度称距离。当路径的起点和重点重叠时，称该路径为回路或环（形态上会形成一个圈，上图的
{3,4,5,6,7,8}就是一个回路）
环路判定定理：若一个图有n个顶点且边数>n-1，则该图必存在回路
在“人羊狗菜”问题中，我们把原本过河的逻辑问题，转换成了顶点1到顶点10的可达性问题，像这种在无向图中，如果顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的，在本例中顶点1到顶点10拥有两条路径。如果图G中任意两个顶点是连通的，则称图G是连通图，反之为非连通图。我们的“人狗羊菜”的就是一张连通图，也就是所有的点都连在了一个主体里，但是有时候会出现这样一种情况，有一个点“脱离”了图的主体，成为了一个不和任何点连通的“孤独”的顶点，这就称作孤点，下图中的顶点6就是一个孤点：
孤点存在定理：若一个图有n个顶点且边数<n-1，则该图必是非连通图（换言之，存在孤点）
注意，连通性是无向图的概念，有向图有个类似的性质，叫做强连通性，在有向图中，如果从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v都存在路径，那么称这两个点是强连通的，任意两个结点都强连通的有向图称强连通图
图的连通性和强连通性是一个图论核心性质，从数学结构上来说，连通性和强连通性都是一种等价关系，从直观上来说就是所有顶点之间都“有来有回”，从算法上讲，拥有连通性/强连通性的图，掌握了其中一个顶点，就可以掌握其中所有的顶点，就拿有向图来说，强连通性确保“数据的循环流动”，举个例子，有个金融分析师要研究最近十年的市场资金流动，他分析了12家公司的财务报表：
发现这根本不是一个强连通图，也就是说资金无法像生态循环一样在市场持续流动，而是最终进了4公司，10公司和12公司，这就不是一个健康的市场流动，而那这几家公司就很有可能是洗钱大户或者垄断联盟。这种问题很常见，同样的问题也可能发生在旅游过程中，很多景点之间只有单向车次，所以如果交通布局不是强连通的，很可能就出现你坐车去，结果玩了几个景点，最后要走路回来，可以说，连通性和强连通性保证了图的“连通健康”
值得注意的是，和简单图一样，我们讨论的所有路径和回路，都是简单路径（路径中顶点不重复出现）和简单回路（除顶点自叠外，无重复顶点）
子图和连通分量
设有两个图G=(V,E)和G'=(V',E')，若V'是V的子集且E'是E的子集，则称G'是G的子图。如果G'是G的子图，且V(G')=V(G)，则称G'是G的生成子图（只删边，不删点）
子图是一个图的重要概念，回到之前提到的连通性问题，不是所有图都是连通图，观察下面的无向图G：
使用我们上文的连通性定义，可以清晰看到这个无向图中有3个“孤岛”，也就是{1,2,3,4,5}，{6,7,8}和{9,10}，在它们各自内部保证了连通性，成为了一个独立于整体的小“连通图”，像这一类无向图中的极大连通子图称为连通分量。本例的无向图拥有3个连通分量：
值得注意的是，极大联通子图在是
G的子图的同时，要包含该“孤岛”内尽可能多的边，不然只能是连通子图，而不是极大连通子图。同样的概念还有极小联通子图，在保证子图连通性的同时，包含尽可能少的边
子图在图论中有很重要的应用，尤其是生成子图和生成树，再处理复杂图时，是一个很重要的简化和分析工具，就比如你遇到这么样一个迷宫问题：
其实你很难一次性看出这个迷宫是不是整体相连的（连通图），有可能出现几条路是自闭的，不和主路相连，提前采取连通性分析可以少走弯路，如果发现自己的起点就是在一个不包括出口的自闭路径里（连通分量），那就直接放弃就行了，免得无用功
既然无向图有连通分量，那自然同样的概念也发生在有向图中，有向图
G的极大强连通子图称为该有向图的强连通分量。定义类似不多赘述
树和图的关系
本节默认你对树有所了解，知道树的基本概念和形态即可
首先来看一下数据结构的分级：
- 一对一关系：线性表（背包，栈和队列）
- 一对多关系：树（一般树和二叉树）
- 多对多关系：图（有向图和无向图）
从形态上讲，树其实是一种特殊的图，这里给出了5个顶点的2种边集组合，分别构成了树A和图B：
可以从形态上清晰看到，我们的树A其实就是图B的一个生成子图（只删边不删点的子图，见上文定义），生成子图是一个很常用的工具，它在保证连通图的顶点完整性和连通性的同时，不断删除多余的边，来减少边集冗余，当边数删到极限了，图就退化成一棵树，这棵树就称为连通图的生成树，它是包含图中全部顶点的一个极小连通子图
若连通图的顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边，且对生成树而言：
- 删去一条边，它就会变成非连通图
- 加上一条边，则会形成环路
在非连通图中，各连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林：
一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图，称为有向树。同样是5个顶点，下图构造了一棵有向树和一个有向图：
可以看到上图的有向树其实是有向图的一个生成子图
我们通常只在无向图中讨论生成树，有向树和生成树定义类似，但不是同一个感念（不是有向图的生成树），不要混淆
生成树和生成子图问题是很常见的一类图论问题，其核心在于“保证顶点集的完整性同时，减少边的数目”，经常用于一些需要“压缩时间和空间成本”的场合。举个例子，苏州市要修地铁了，但是地铁造价昂贵，市政府希望规划的几条线路能覆盖尽可能多的重要交通点（比如苏州火车站，观前街和市立医院），保证这些地点连通的同时，减少需要修建的地铁线，这个时候，设计师会将所有的比如30个站点先在地图上画出来，构造一个无向完全图，然后针对地区造价和施工难度，不断删除多余的边，最后获得一个接近生成树的生成子图结构，保证了地区连通性的同时，减少了建造成本。苏州市轨道交通布局图：
图的数学表示法
矩阵表示法是图论的数学表示，之前我们看见的都是图例，属于图形表示法，优点是直观，但是没有数学结构，无法被计算机理解，矩阵表示法就是可以表示一个图的最早的可用数学模型
这里先给出有向图A和无向图B的图例（图形表示法）：
对于有向图A：
V={0,1,2,3}且E={e1=<0,1>,e2=<0,2>,e3=<2,0>,e4=<2,3>,e5=<3,0>,e6=<3,1>,e7=<3,2>}
对于有向图B：
V={0,1,2,3,4}且E={e1=(0,1),e2=(0,4),e3=(1,2),e4=(1,3),e5=(1,4),e6=(2,3),e7=(3,4)}
关联矩阵法
对于一个图G=(V,E)，构造一个n*m的矩阵M，使得：
|V|=n|E|=mM(i,j)=1，表示顶点vi和边ej有关联M(i,j)=0，表示顶点vi和边ej没有关联
那么称这个n行m列的矩阵M为图G=(V,E)的关联矩阵。上文图例中有向图和无向图的关联矩阵表示：
可以看到关联矩阵表示法其实蛮蛋疼的，有大量的数据空白，对于计算机来说利用率很低
邻接矩阵法
对于一个图G=(V,E)，构造一个n*n的矩阵M，使得：
|V|=nM(i,j)=1，表示顶点vi和vj有邻接M(i,j)=0，表示顶点vi和vj没有邻接
那么称这个n行n列的矩阵M为图G=(V,E)的邻接矩阵。上文图例中有向图和无向图的邻接矩阵表示：
邻接矩阵很适合计算机存储，是常用方案之一
矩阵压缩
观察邻接矩阵法所表示的无向图，其实会发现它是沿方阵对角线对称的，所以在实际操作时，可以只存储它的上三角阵或者下三角阵，必要时可以将其压缩成一个一维向量，在之后讲图论存储结构的博文里会有描述，本篇不作详解
几个特殊的图和图论的主要问题
文章一开始就提过，图结构往往反应的是现实问题，所以图的种类千变万化，除了本文列举的几个基本概念外，有很多特殊图，都是针对不同问题出现的特殊结构，篇幅有限不作详解，仅仅罗列一下常见的，之后讲解相关问题的博文里会专门补充，这里混个眼熟即可：
详细内容现已并入我的图论专栏
总结
本篇作为入门篇，主要介绍了图论作为数据结构的主要概念，大部分都是概念的描述，详细定义并分别这些概念，是学习图论的重要步骤（免得以后题目都看不懂），这其中的概念主要有3个：
- 点边模型：了解图结构在数学上的集合本质，了解顶点集和边集是图的必要组成部分，并判断图的有向性，建立度和权的概念
- 路径和连通性：连通性是图的最核心特征，连通的图在算法上才有意义，路径问题是图论算法的一个大块
- 子图：图通常是一个拥有数百万结点的大型结构，子图可以很好的简化复杂图，树图转换也是一个很重要的图论算法
本篇提及的概念都很基础，是必须掌握的，尤其是几个判定定理，在之后的算法中，通常会起到关键作用（如环路判定定理在循环依赖检查算法中非常有用）。希望我提的例子能帮你开始理解图这种结构，建立起良好的直观，篇幅较长，写作匆忙，勘误还请issue或者直接评论指出
