第一章:Borel测度

第1章 Borel测度

在正式讨论我们的内容之前我们先做几点说明

1.我们只讨论${\mathbb{R}}^n$ 上的测度，因此如果不作特别说明，我们均认为测度和集合为于${\mathbb{R}}^n$ 中：

2.我们不特别区分外测度和测度，因为将外测度限制在可测集上就是可测集上的测度：

3.我们默认读者已经了解了${\mathbb{R}}^n$ 中一般外测度的构造和一般测度积分的定义，包括几个极限定理(Levi单调收敛/Fatou引理/Lebesgue控制收敛定理）

1.1 测度论回顾

1.1.1 测度

我们用$\mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)$ 表示$\mathbb{I}{\mathbb{R}}^n$ 的所有子集构成的集合，

定义1.1.1(外测度). 称映射$:\mu :\mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\to [0,\mathrm{\infty }]$ 为外测度，如果：

• $\mu (\varnothing )=0$

$$E\subset \bigcup _{h\in \mathbb{N}}{E}_h\Rightarrow \mu (E)\le \sum _{h\in \mathbb{N}}\mu (E_h).$$

显然，由外测度的次可加性可以得到单调性，即对任意的$E\subset F$, 有

$$\mu (E)\le \mu (F).$$

正如${\mathbb{R}}^n$ 中，我们可以定义可测集，将外测度限制在可测集上就得到了测度.

定义1.1.2(可测集）. 称$E\subset {\mathbb{R}}^n$ 是一$\mu$ 可测集是指：

$$\mu (F)=\mu (F\cap E)+\mu (F\setminus E),\mathrm{\forall }F\subset {\mathbb{R}}^n.(1.1)$$

定义1.1.3( $\sigma$ 代数). 设$X$ 是一非空集合，称$\mathcal{A}\subset 2^X$ 的一个$\sigma$ 代数是指：

1. $\varnothing ,X\in \mathcal{A}$

2. $A\in \mathcal{A}\Rightarrow X-A\in \mathcal{A}$

3. $A_k\in \mathcal{A}\Rightarrow \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\in \mathcal{A}$

如果$C\in 2^X$ ，我们用$\sigma (C)$ 表示包含$C$ 的最小的$\sigma$ 代数，或者称为由$C$ 生成的$\sigma$ 代数

Caratheodory定理告诉我们，对于一外测度而言，所有可测集构成一$\sigma$ 代数，将$\mu$ 限制在$\sigma$ 代数上就得到了测度

定理1.1.4(Caratheodory定理）.设$\mu$ 是${\mathbb{R}}^n$ 上的一外测度，则可测集构成的全体$\mathcal{M}(\mu )$ 是一$\sigma$ 代数，并且对$\mathcal{M}(\mu )$ 中的互不相交的集合$\{A_k\}$ 有

$$\mu \left(\sum _{k\in \mathbb{N}}{A}_k\right)=\sum _{k\in \mathbb{N}}\mu (A_k).(1.2)$$

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1.1.2 积分

类似Lebesgue测度，我们也可以先定义简单$\mu$ -可测函数的积分，然后通过逼近的手段定义一般$\mu$ -可测函数的极限，在此我们省略该过程，只列出一些对一般的测度依然成立的结论

定理1.1.5（非负可测函数的分解）. 设$f:X\to [0,\mathrm{\infty }]$ 是$\mu$ 可测函数，则存在$X$ 中的一族$\mu$ 可测集$\{A_k{\}}_{k\ge 1}$ 使得：

$$f=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\chi }_{A_k}}{k}.$$

定理1.1.6(Egrof定理). 设$\mu$ 是$I{F}_{\mathrm{L}}^n$ 上一测度，假设$f_k:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m,k=1,\cdots$ 是$\mu$ 可测函数，假设$A\subset {\mathbb{R}}^n$ 也是$\mu$ 可测集，并且$\mu (A)<\mathrm{\infty }$ ，且：

$$f_k\to f\mu \text{-a.e. on }A.$$

则对任意给定的$\epsilon >0$ ，存在一$\mu$ 可测集$B\subset A$ 使得：

1. $\mu (A-B)<\epsilon$ 2. $f_k$ 在$B$ 上一致收敛于$f$

这里需要给出一些说明：

2. $\mu (A)<\mathrm{\infty }$ 的条件不可省略（回忆在欧氏空间的定理叙述） ·该结论不需要对$\mu$ 提任何正则性的要求，这是与Lusin定理等不同的地方

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下边给出一些常用的记号： 称$\mu$ 可测函数$u$ 是局部可积函数，如果对任意的紧集$K$ 都有：

$${\int }_K|u|\mathrm{d}\mu (x)<\mathrm{\infty },$$

并记为$u\in L_{loc}^1({\mathbb{R}}^n,\mu )$

如果

$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}|u|\mathrm{d}\mu (x)<\mathrm{\infty },$$

则记$u\in L^1({\mathbb{R}}^n,\mu )$ .

类似可定义$L_{lo\mathrm{c}}^p({\mathbb{R}}^n,\mu )$ 和LP(R, ) $L^p({\mathbb{R}}^n,\mu )$ $L^p({\mathbb{R}}^n,\mu ),1\le p\le +\mathrm{\infty }.$

对Lebesgue测度成立的三大定理，对${\mathbb{R}}^n$ 上一般的测度也是成立的，

定理1.1.7 (单调渐升定理)． 如果$\{u_h{\}}_{h\in \mathbb{N}}$ 是一列非负$\mu$ 可测函数，并且$u_h$ $\le$ $u_{h+1},\mu$ a. e. $x\in {\mathbb{R}}^n$ ，则：

$$\underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{{\mathbb{R}}^n}{\int }{u}_h\mathrm{d}\mu (x)=\underset{{\mathbb{R}}^n}{\int }\underset{h\in \mathbb{N}}{sup}{u}_h\mathrm{d}\mu (x).$$

如果$u_h\ge u_{h+1},\mu$-a.e.$x\in {\mathbb{R}}^n$ ，并且$u_1\in L^1({\mathbb{R}}^n,\mu )$ ，则

$$\underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{{\mathbb{R}}^n}{\int }{u}_h\mathrm{d}\mu (x)=\underset{{\mathbb{R}}^n}{\int }\underset{h\in \mathbb{N}}{inf}{u}_h\mathrm{d}\mu (x).$$

定理1.1.8(Fatou引理）. 如果$\{u_h{\}}_{h\in \mathbb{N}}$ 是一列非负$\mu$ -可测函数，则：

$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}\underset{h\to \mathrm{\infty }}{\lim }inf{u}_h\mathrm{d}\mu (x)\le \underset{h\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{\mathbb{R}}^n}{inf}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_h\mathrm{d}\mu (x).$$

定理1.1.9(控制收敛定理). 如果$\{u_h{\}}_{h\in \mathbb{N}}$ 是一列$\mu$ 可测函数，并且逐点收敛到u，并且存在$\nu \in L^1({\mathbb{R}}^n,\mu )$ 使得$|u_h|\le \nu ,\mu$-a.e.$x\in {\mathbb{R}}^n$ ，则

$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}u\mathrm{d}\mu (x)=\underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_h\mathrm{d}\mu (x).$$

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最后我们来回忆一下Fubini定理，首先我们先来回顾乘积测度，设$\mu ,\nu$ 分别是${\mathbb{R}}^n$ 和${\mathbb{R}}^m$ 上的外测度，我们定义${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m$ 上的乘积测度$\mu \times \nu$ 为

$$(\mu \times \nu )(G):=\underset{\mathcal{F}}{inf}\sum _{E\times F\in \mathcal{F}}\mu (E)\cdot \nu (F).$$

其中$\mathcal{F}$ 是$G$ 的一族开覆盖，并且$\mathcal{F}$ 中的元素都是$E\times F,E\subset {\mathbb{R}}^n,F\subset {\mathbb{R}}^m$ 的形式.我们引入下边切片的记号：

$$G_x=\{y\in {\mathbb{R}}^m,(x,y)\in G\}.$$

我们陈述下边的Fubini定理

定理1.1.10（Fubini定理）.
设$\mu ,\nu$ 分别是${\mathbb{R}}^n$ 和${\mathbb{R}}^m$ 上的外测度

1.如果$E\in \mathcal{M}(\mu ),F\in \mathcal{F}(\mu )$ ，则$E\times F\in \mathcal{M}(\mu \times \nu )$ ，并且还有：

$$\mu \times \nu (E\times F)=\mu (E)\nu (F).$$

2.如果$G\in {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m$ 相对$\mu \times \nu$ 是$\sigma$ 有限的，则$G_x\in \mathcal{M}(\nu ),\mu$ -a.e. $x\in {\mathbb{R}}^n$ ，并且：$x\in {\mathbb{R}}^n\mapsto \nu (G_x)$ 是$\mu$ 可测的

$$(\mu \times \nu )(G)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\nu (G_x)\mathrm{d}\mu (x).$$

3.如果$L^1({\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m,\mu \times \nu )$ ，则：

$$\begin{array}{r}x\in {\mathbb{R}}^n\mapsto {\int }_{{\mathbb{R}}^m}u(x,y)\mathrm{d}\nu (y)\in L^1({\mathbb{R}}^n,\mu )\\ {\int }_{{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^m}u\mathrm{d}(\mu \times \nu )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\mathrm{d}\mu (x){\int }_{{\mathbb{R}}^m}u(x,y)\mathrm{d}\nu (y).\end{array}$$

在本节的最后我们用Fubini定理给出一个非常有用的公式

推论1.1.11(Layer-Cake公式).
设$u\in L^p(\mathbb{R}n,\mu),p\in[1,\infty),u\geq 0 $ ，

记$\{u>t\}:=\{x:u(x)>t\}$ ，则：

$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}|u{|}^p\mathrm{d}\mu =p{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{p-1}\mu (\{|u|>t\})\mathrm{d}t.(1.3)$$

证明.我们考虑函数$f(x,t)=p{t}^{p-1}{\mathbb{l}}_{(0,u(x))}(t)$ 以及测度$\mu \times \mathcal{L}$ ，使用Fubini定理就得到了：

$$RHS={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x,t)\mathrm{d}\mu \mathrm{d}t={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_0^{u(x)}p{t}^{p-1}\mathrm{d}t\mathrm{d}\mu =LHS.$$

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1.2 Borel测度

我们用$\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)$ 表示${\mathbb{R}}^n$ 全体开集生成的$\sigma$ 代数

1.2.1 Borel测度的结构

定义1.2.1(Borel测度).设$({\mathbb{R}}^n,\mu ,\mathcal{M})$ 是一测度空间，称$\mu$ 是一Borel测度是指$,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\subset$ M.

对于Borel测度而言，Borel集上的测度是由那些立方体所决定的.我们采用一种“代数”形式的证明方法来说明这一点

定义1.2.2 $\pi$ 类） 称$\mathcal{P}\subset 2^X$ 是$\pi$ 类，如果：

$$A,B\in \mathcal{P}\Rightarrow A\cap B\in \mathcal{P}.$$

定义1.2.3( $\lambda$ 类). 称$\mathcal{L}\subset 2^X$ 是$\lambda$ 类，如果：

1. $X\in \mathcal{L}$

2. $A,B\in \mathcal{L}$ 且$B\subset A\Rightarrow A-B\in \mathcal{L}$

3. 如果$A_k\in \mathcal{L}$ 并且$A_k\subset A_{k+1}$ 则$\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\in \mathcal{L}.$

定理1.2.4 $(\pi -\lambda$ 定理）. 设$P$ 是$\pi$ 类$,\mathcal{L}$ 是$\lambda$ 类，且$P\subset \mathcal{L}$ ，则

$$\sigma (\mathcal{P})\subseteq \mathcal{L}$$

证明.1.定义

$$S:=\bigcap _{{\mathcal{L}}^{\prime }\supseteq \mathcal{P}}{\mathcal{L}}^{\prime }$$

其中${\mathcal{L}}^{\prime }$ 是包含$P$ 的$\lambda$ 类.可以直接验证$S$ 也是一个$\lambda$ 类

2.我们证明$S$ 是一个$\pi$ 类.即如果$A,B\in S$ ，那么$A\cap B\in S.$ 定义

$$\mathcal{A}:=\{C\subseteq X\mid A\cap C\in S\}.$$

由于$S$ 是$\lambda$ 类，故$\mathcal{A}$ 也是$\lambda$ 类，故$S\subset \mathcal{A}.$ 因此如果$B\in S$ ，那么$B\in \mathcal{A}\Rightarrow A\cap B\in \mathcal{S}$

3.我们证明$S$ 是一个$\sigma$ 代数.由于$\varnothing \in S$ 因此$\varnothing =X-X\in S.$ 因此$A\in \mathcal{S}\Rightarrow X-A\in$ $S$ ，故$S$ 对补运算是封闭的.再假设$A_k\in S$ ，令$Bn=\bigcup _{k=1}^{n}Ak$，由于$S$ 是一$\pi$ 类，因此对有限交运算封闭$,S$ 是$\lambda$ 类故对补运算封闭，从而得到对有限并运算封闭，故$B_n\in S$ ，而$B_n$ 是一列递增的集合，故$limBn\in S$，故$S$ 对任意并封闭，因此$S$ 是一个$\sigma$ 代数

4.因为$\mathcal{P}\subset S$ ，故

$$\sigma (\mathcal{P})\subseteq S\subseteq \mathcal{L}.$$

利用上边的定理，我们就可以看出对于一个有限Borel测度，其在Bore集上的值完全由其在长方体上的测度决定，

定理1.2.5. 设$\mu ,\nu$ 是两个(有限)Borel测度，并且对任意的平行于坐标轴的立方体

$$R=\{x\in {\mathbb{R}}^n|-\mathrm{\infty }\le a_i\le x_i\le b_i\le \mathrm{\infty },i=1,\cdots ,n\}$$

有$\mu (R)=\nu (R)$ ，则对任意的$B\in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)$ ，都有：

$$\mu (B)=\nu (B).$$

证明.1.我们$\mathcal{P}=\{R\in {\mathbb{R}}^n|R$ 是上述定义的方体),则$P$ 是$\pi$ 类

2.令

$$\mathcal{L}:=\{B\subseteq {\mathbb{R}}^n\mid B\mathrm{is}\mathrm{Borel},\mu (B)=\nu (B)\}.$$

则$L$ 是$\lambda$ 类

3.根据$\pi -\lambda$ 定理，就得到了$\sigma (\mathcal{P})=\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\subset \mathcal{L}.$ 于是定理得证

1.2.2 Borel测度的判定

下边我们给出判断一个测度是否为Borel测度的准则

定理1.2.6(Caratheodory准则). 设$\mu$ 是一外测度，则$\mu$ 是Borel测度$⟺$

$$\mu (E_1\cup E_2)=\mu \left(E_1\right)+\mu \left(E_2\right),E_1,E_2\subset {\mathbb{R}}^n,\mathrm{dist}(E_1,E_2)>0.(1.4)$$

证明.

1.设$\mu$ 是一Borel集，因此${\overline{E}}_1$ 是Borel集.取$E_1\cup E_2$ 作试验函数，于是如果$d(E_1,E_2)>0$ ，则$E_2\cap {\overline{E}}_1=\varnothing$ ，因此有

$$\mu (E_1\cup E_2)=\mu ((E_1\cup E_2)\cap \overline{E_1})+\mu \left((E_1\cup E_2)\mathrm{\setminus }\overline{E_1}\right)=\mu \left(E_1\right)+\mu \left(E_2\right).$$

2.反之如果(1.4)成立.那么要证明对于任意的闭集$E$ ，他都是可测集，即证明对于任意的$F\subset {\mathbb{R}}^n$ ，都有

$$\mu (F)\ge \mu (E\cap F)+\mu (F\mathrm{\setminus }E),\mu (F)<\mathrm{\infty }$$

为此我们定义

$$E_h=\{x\in F:\frac{1}{h+1}\le \mathrm{dist}(x,E)<\frac{1}{h}\},E_0=\{x\in F:\mathrm{dist}(x,E)\ge 1\},h\in \mathbb{N},h\ge 1$$

则

$$\mu (F\cap E)+\mu (F\mathrm{\setminus }E)\le \mu (F\cap E)+\mu$$

参考文献

F. Maggi. Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems: An Introduction to Geometric Measure Theory. 2012.

L. C. Evans and R. F. Gariepy. Measure Theory and Fine Properties of Functions, Revised Edition.