Sobolev空间三

Sobolev空间

2.5 延拓

本节我们介绍延拓定理, 很多时候我们需要将一个函数延拓到更好的空间中, 或者更好的区域上. 曾经我们用过零延拓, 但是这样的延拓会丧失掉很多函数的性质, 例如 如果 $u$ 在 $\mathrm{\Omega }$ 上是弱可微的, 但是将其零延拓到 ${\mathbb{R}}^n$ 末必是弱可微的. 我们希望这种延拓能够保持弱可微的性质, 且是一个有界线性的算子. 如果能够将其延拓到整个 ${\mathbb{R}}^n$ 上, 那 么就能够对该函数做Fourier变换!

类似逼近定理一样,我们先考虑平展边界上的延拓.

定理 19. 存在从 $W^{k,p}\left({\mathbb{R}}_{+}^n\right)$ 到 $W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)$ 的连续线性算子 $E$ 使得

(1)对任何 $u\in W^{k,p}\left({\mathbb{R}}_{+}^n\right)$ 有: $Eu(x)=u(x),\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{+}^n$,

(2) 存在正常数 $C=C(k,p)$ 使得

我们把 $E$ 称为是关于区域 ${\mathbb{R}}_{+}^n$ 的 $(k,p)$ 延拓算子.

$$\Vert Eu{\Vert }_{W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{k,p}\left({\mathbb{R}}_{+}^n\right)},\mathrm{\forall }u\in W^{k,p}\left({\mathbb{R}}_{+}^n\right).$$

证明: 问题的关键在于如何定义 $\{x_n\le 0\}$ 的部分, 使得 $u$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上有 $\alpha$ 阶弱导数, 且使得 $D^{\alpha }u\in L^p\left({\mathbb{R}}^n\right)$.

我们之前在光滑逼近中已经证明了 $C^{\mathrm{\infty }}\left(\overline{{\mathbb{R}}_{+}^n}\right)$ 在 $W^{k,p}\left({\mathbb{R}}_{+}^n\right)$ 中是稠的, 因此我们可以考虑先在 $C^{\mathrm{\infty }}\left(\overline{{\mathbb{R}}_{+}^n}\right)$ 上定义延拓, 注意到这是 $W^{k,p}\left({\mathbb{R}}_{+}^n\right)$ 的一个稠密子空间, 因此我 们利用Hahn-Banach定理就可以唯一保范延拓出去.

设 $({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_{k+1})$ 是以下线性方程组

$$\sum _{j=1}^{k+1}(-j{)}^m{\lambda }_j=1,m=0,1,\cdots ,k$$

的唯一解 (因为这是系数矩阵的行列式是一个范德蒙行列式), 我们对 $u\in C^{\mathrm{\infty }}\left(\overline{{\mathbb{R}}_{+}^n}\right)$, 定义:

$$Eu(x)=\{\begin{array}{ll}u(x),& x_n\ge 0\\ \sum _{j=1}^{k+1}{\lambda }_{j}u(x^{\prime },-j{x}_n),& x_n<0\end{array}$$

对于任意的 $|\alpha |\le k$, 我们都有:

$$D^{\alpha }Eu(x)=\{\begin{array}{ll}{D}^{\alpha }u(x),& x_n\ge 0,\\ \sum _{j=1}^{k+1}(-j{)}^{{\alpha }_n}{\lambda }_j{D}^{\alpha }u(x^{\prime },-j{x}_n),& x_n<0.\end{array}$$

首先我们要验证 $Eu$ 是一个 $C^m\left({\mathbb{R}}^n\right)$ 上的连续函数. 这里我们只需要验证对 $y\in \{y_n=0\}$ 上点, $D^{\alpha }Eu(x)$ 不管从上方逼近还是下方逼近都是一样的.

$$\begin{array}{c}\underset{x\to y,x\in \{x_n⩾0\}}{lim}{D}^{\alpha }Eu(x)=D^{\alpha }u(y)\\ \underset{x\to y,x\in \{x_n<0\}}{lim}{D}^{\alpha }Eu(x)=\underset{x\to y,x\in \{x_n<0\}}{lim}\sum _{j=1}^{k+1}(-j{)}^{{\alpha }_n}{\lambda }_j{D}^{\alpha }u(x^{\prime },-j{x}_n)=D^{\alpha }u(y)\end{array}$$

下边我们验证他的任意阶导数都是 $L^p$ 的且是有界算子，直接验证：

$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{|D^{\alpha }Eu(x)|}^{p}dx& ={\int }_{{\mathbb{R}}_{+}^n}{|D^{\alpha }u(x)|}^{p}dx++{\int }_{{\mathbb{R}}_{-}^n}{|\sum _{j=1}^{k+1}(-j{)}^{{\alpha }_n}{\lambda }_j{D}^{\alpha }u(x^{\prime },-j{x}_n)|}^{p}dx\\ & \le C(k,p,\alpha ){\int }_{{\mathbb{R}}_{+}^n}{|D^{\alpha }u(x)|}^{p}dx.\end{array}$$

对 $|\alpha |\le k$ 进行求和, 我们就可以得到:

$$\Vert Eu{\Vert }_{W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)}\le C(k,p)\Vert u{\Vert }_{W^{k,p}\left({\mathbb{R}}_{+}^n\right)},\mathrm{\forall }u\in W^{k,p}\left({\mathbb{R}}_{+}^n\right)$$

且 $C$ 仅与 $k,p$ 有关.

由于$C^{\mathrm{\infty }}(\overline{{\mathbb{R}}_{+}^n})$在$W^{k,p}({\mathbb{R}}_{+}^n)$中稠,因此可以利用连续线性泛函的延拓唯一的保范延拓出去.

现在考虑一般的具有 $C^m$ 光滑程度的边界, 方法还是一样的, 先利用有限开覆盖定理,对每个局部的边界进行展平,得到延拓后再变换到原来的情况,利用单位分解定理 完成证明.

定理 20. 设 $U$ 为 $C^k$ 类区域且 $\partial U$ 有界, 则存在从 $W^{k,p}(U)$ 到 $W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)$ 的 $(k,p)$ 延 拓算子 $E$ 满足:

(1) $Eu(x)=u(x),\mathrm{\forall }u\in W^{k,p}(U)$, a.e. $x\in U$,

(2) $E$ 是从 $W^{k,p}(U)$ 到 $W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)$ 的连续线性算子, 即

并且存在正常数 $C=C(U,k,p)$ 使得

$$E({\lambda }_1{u}_1+{\lambda }_2{u}_2)={\lambda }_{1}E{u}_1+{\lambda }_{2}E{u}_2,\mathrm{\forall }{u}_1,u_2\in W^{k,p}(U),{\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}$$

$$\Vert Eu{\Vert }_{W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{k,p}(U)},u\in \mathrm{\forall }{W}^{k,p}(U)$$

证明: 上边的延拓定理虽然告诉了我们这样的延拓是存在的, 但是没有具体告诉我们对于一般的 $u\in W^{k,p}$, 其延拓怎么定义, 因此在这个定理的证明中, 我们选择一种更 加清晰的证明.

(1): 由于 $\partial U$ 是有界集, 因此利用开覆盖定理我们就可以得到存在有限个开球 ${\left\{O_i\right\}}_{i=1}^n$ 覆盖 $\partial U$, 类似的, 我们找到 $O_0\subset \subset U$, 使得 $U\subset \bigcup _{i=0}^n{O}_i$, 我们知道存在从属于这个 开覆盖的单位分解(这里我们不再复述这个过程, 采用和逼近定理一样的记号.) 记

对 $u_0$, 我们直接做零延拓即可.

$$u=\sum _{i=0}^n{\alpha }_{i}u=\sum _{i=0}^n{u}_i$$

$(2)$ : 对剩下的 $u_i$, 首先我们将边界展平, 存在 $C^m$ 函数 ${\varphi }_i:\partial U\cap O_i\to B_1^{+}(0)$, 并且 $\mathrm{spt}\left(u({\varphi }^{-1}(y))\right)\subset \subset B_1^{+}(0)$. 我们先对 $u_i$ 在 ${\mathbb{R}}_{+}^n$ 中做零延拓, 在做定理 19 中的 Whitney 延 拓得到的函数记为 $E{u}_i={\tilde{u}}_i$. 因此我们可以得到:

$${\Vert {\tilde{u}}_i\Vert }_{W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)}⩽C\Vert u{\Vert }_{W^{k,p}(B_1^{+}(0))}$$

再利用的等价范数我们就可以得到:

$$\begin{array}{rl}& {\Vert E{u}_i\Vert }_{W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)}\le C{\Vert u_i\Vert }_{W^{k,p}(U)},u\in \mathrm{\forall }{W}^{k,p}(U)\end{array}$$

从而由线性性我们可以得到:

$$\begin{array}{rl}& \Vert Eu{\Vert }_{W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{k,p}(U)},u\in \mathrm{\forall }{W}^{k,p}(U)\end{array}$$

(3): 对于一般的 $u\in W^{k,p}$, 我们采用光滑函数逼近定理. 由于 $\partial \mathrm{\Omega }\in C^k$, 故由 $C^k(\overline{U})$ 逼近定理知存在函数列 $u_m$ 满足 $u_m\in C^k(\overline{U}),{|u_m-u|}_{k,p,\mathrm{\Omega }}\to 0(k\to \mathrm{\infty })$. 对 $u_m\in C^k(\overline{U})$, 可作 $E{u}_m:C^k(\overline{U})\mapsto W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 使得

$$E{u}_m=u_m,x\in \overline{\mathrm{\Omega }}$$

于是

$${\Vert E{u}_m-E{u}_l\Vert }_{k,p,{\mathbb{R}}^n}={\Vert E(u_m-u_l)\Vert }_{k,p,{\mathbb{R}}^n}⩽C{\Vert u_m-u_l\Vert }_{k,p,\mathrm{\Omega }}\to 0,m,l\to \mathrm{\infty }.$$

由 $W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)$ 的完备性知存在 $Eu\in W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)$

满足定义 $E:u\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })\mapsto v\in W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 而且 ${\Vert E{u}_m-Eu\Vert }_{k,p,{\mathbb{R}}^n\to 0}(m\to \mathrm{\infty })$. 特别地,

又 $E{u}_m=u_m$ a.e. 于 $\mathrm{\Omega }$, 故

$${\Vert E{u}_m-Eu\Vert }_{k,p,\mathrm{\Omega }}\to 0,m\to \mathrm{\infty }.$$

由极限的唯一性知 $Eu=u$ 在 $\mathrm{\Omega }$ 上几乎处处成立且

$$\Vert Eu{\Vert }_{k,p,{\mathbb{R}}^n}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert E{u}_m\Vert }_{k,p,{\mathbb{R}}^n}⩽C\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert u_m\Vert }_{k,p,\mathrm{\Omega }}=C\Vert u{\Vert }_{k,p,\mathrm{\Omega }}.$$

故定理得证.

2.6 空间 $W_0^{k,p}(U)$

定义 21 .

$$W_0^{k,p}(U):=\{u\in W^{k,p}(U)\mid \text{ 存在函数 }{u}_k\in C_0^{\mathrm{\infty }}(U)\text{ 在 }{W}^{k,p}\text{ 中逼近 }u.\}$$

由定理 15 就可以知道, 当 $U={\mathbb{R}}^n$ 时, 我们有:

$$W_0^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)=W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)$$

但是我们要说明,当 $U$ 是一般的集合时,该 $j$ 结论末必成立.

命题 22. 当 $U$ 为有界开集时, $W_0^{k,p}(U)⫋W^{k,p}(U)$.

为此我们只需要找到一个函数 $f\in W^{k,p}$, 但是其不能被光滑逼近即可, 为此我们需要如下的Poincare不等式:

引理 23. 设 $\mathrm{\Omega }$ 是 ${\mathbb{R}}^{\mathrm{n}}$ 中的有界开集, 那么对于任意的 $u\in C_0^1(\mathrm{\Omega })$, 我们有:

$C$ 仅依赖于区域 $\mathrm{\Omega }$.

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}|\varphi |\mathrm{d}\mathit{x}⩽C{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{i=1}}^n\left|\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}\right|\mathrm{d}\mathit{x}$$

证明: 事实上, 因为 $\mathrm{\Omega }$ 有界, 不妨设 $\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{sup}\left|x_i\right|=K_i<+\mathrm{\infty }$. 由 ${\partial }_{x_i}\left(x_i|\varphi |\right)=|\varphi |+x_i{\partial }_{x_i}|\varphi |$ 得

对 $i$ 求和即可.

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}|\varphi |\mathrm{d}\mathit{x}⩽K_i{\int }_{\mathrm{\Omega }}\left|\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}\right|\mathrm{d}\mathit{x},i=1,2,\cdots ,n$$

现在回到原命题的证明:

现在我们取 $f=1,\in \mathrm{\Omega }$, 由于区域的有界性我们知道 $f\in W^{k,p}$, 先证 $f\notin W_0^{1,1}$. 对于任意的 $\varphi \in C_0^{\mathrm{\infty }}$, 我们有:

$$\begin{array}{rl}\Vert f-\varphi {\Vert }_{W^{1,1}}& ={\int }_{\mathrm{\Omega }}|f-\varphi |\mathrm{d}\mathit{x}+\sum _{i=1}^n{\int }_{\mathrm{\Omega }}\left|\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}\right|\mathrm{d}\mathit{x}\\ & ⩾{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{d}\mathit{x}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}|\varphi |\mathrm{d}\mathit{x}+\sum _{i=1}^n{\int }_{\mathrm{\Omega }}\left|\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}\right|\mathrm{d}\mathit{x}\\ & ⩾\mathrm{mes}(\mathrm{\Omega })-(C-1){\int }_{\mathrm{\Omega }}\sum _{i=1}^n\left|\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}\right|\mathrm{d}\mathit{x}\\ & ⩾\mathrm{mes}(\mathrm{\Omega })-(C-1)\Vert f-\varphi {\Vert }_{W^{1,1}(\mathrm{\Omega })}\end{array}$$

因此:

$$\Vert f-\varphi {\Vert }_{W^{1,1}}\ge \frac{|\mathrm{\Omega }|}{C}$$

故命题得证.

同时注意到, 当 $U$ 为有界开集时, $W^{1,1}\subset W^{k,p},k\in {\mathbb{N}}^{+},p⩾1$.

问题 1. 有一个很自然的问题就是: $W_0^{k,p}(U)$ 中的函数, 它能不能延拓到边界, 并且延拓之后他的边界和 0 有什么关系? 虽然不引入迹算子的定义我们也可以证明找到这个问 题的答案,但是我们还是选择将该问题放入迹算子的应用中说明.