Sobolev空间二

Sobolev空间初探2

2.2 逼近

2.2. 1 局部逼近

现在我们考虑用光滑函数逼近Sobolev 函数, 这里逼近的基本思想就是对函数进行磨光.

引理 10. (局部逼近) 设 ${\mathrm{\Omega }}_{\epsilon }=\{x\in \mathrm{\Omega }\mid \mathrm{dist}(x,\partial \mathrm{\Omega })>\epsilon \}$, 设 $\mathrm{h}$ 函数 $u\in W_{\mathrm{loc}}^{1,p}(\mathrm{\Omega })$, 则对任意的 $\epsilon >0$, 都有 $J_{\epsilon }u\in C^{\mathrm{\infty }}\left({\mathrm{\Omega }}_{\epsilon }\right)$, 并且对任意的开集 ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }⋐\mathrm{\Omega }$, 当 $\epsilon \to 0$ 时, 有:

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{|J_{\epsilon }u(x)-u(x)|}^p\mathrm{d}\mathrm{x}\to 0\\ & {\int }_{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{|D^{\alpha }(J_{\epsilon }u(x))-D^{\alpha }u(x)|}^p\mathrm{dx}\to 0\end{array}$$

证明:首先做一个说明, 这里的 $J_{\epsilon }$ 是我们常见的磨光子. 令 $\epsilon <\mathrm{dist}({\mathrm{\Omega }}^{\prime },\partial \mathrm{\Omega })=d>0,x\in {\mathrm{\Omega }}^{\prime }$

$$\begin{array}{rl}{J}_{\epsilon }u(\mathit{x})& ={\epsilon }^{-n}{\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho \left(\frac{\mathit{x}-\mathit{y}}{\epsilon }\right)u(\mathit{y})\mathrm{d}\mathit{y}\\ & ={\epsilon }^{-n}{\int }_{|\mathit{x}-\mathit{y}|<\epsilon }\rho \left(\frac{\mathit{x}-\mathit{y}}{\epsilon }\right)u(\mathit{y})\mathrm{d}\mathit{y}\\ & ={\int }_{|\mathit{z}|<1}\rho (\mathit{z})u(\mathit{x}-\mathit{\epsilon }\mathit{z})\mathrm{d}\mathit{z}\end{array}$$

同时注意到: $u(x)={\int }_{|z|<1}\rho (z)u(x)\mathrm{d}z$, 这是因为 ${\int }_{|z|<1}\rho (z)\mathrm{d}z=1$, 因此我们就有:

$$J_{\epsilon }u(x)-u(x)={\int }_{|z|<1}\rho (z)(u(x-\epsilon z)-u(x))\mathrm{d}z$$

因此我们记有:

$${\Vert J_{\epsilon }u-u\Vert }_{L^p\left({\mathrm{\Omega }}^{\prime }\right)}⩽{\int }_{|z|<1}\rho (z)\Vert u(x-\epsilon z)-u(x){\Vert }_{L^p\left({\mathrm{\Omega }}^{\prime }\right)}\mathrm{d}z$$

现在我们证明第二个不等式,这里证明的关键: $D^{\alpha }$ 可以和 $J_{\epsilon }$ 交换次序.这里我们需要注意到一个事实:

$$D_x^{\alpha }\rho (x-y)=(-1{)}^{|\alpha |}{D}_y^{\alpha }\rho (x-y)$$

因此我们有:

$$\begin{array}{rl}{D}^{\alpha }{u}_{\epsilon }(x)& =\frac{1}{{\epsilon }^n}{\int }_U{D}_x^{\alpha }\rho \left(\frac{x-y}{\epsilon }\right)u(y)dy\\ & =(-1{)}^{|\alpha |}\frac{1}{{\epsilon }^n}{\int }_U{D}_y^{\alpha }\rho \left(\frac{x-y}{\epsilon }\right)u(y)dy\\ & =\frac{1}{{\epsilon }^n}{\int }_U\rho \left(\frac{x-y}{\epsilon }\right)D_y^{\alpha }u(y)dy\\ & =J_{\epsilon }\left(D^{\alpha }u\right)\end{array}$$

现在等价于证明:

由于 $D^{\alpha }u\in L_{\mathrm{loc}}^p$, 故定理得证.

$${\int }_{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{|(J_{\epsilon }{D}^{\alpha }u(x))-D^{\alpha }u(x)|}^p\mathrm{dx}\to 0$$

这个引理等价：

引理. 设 $u\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })$, 其中 $1\le p<\mathrm{\infty }$, 则对于任意的 $V\subset \subset \mathrm{\Omega }$, 存在光滑函数列在 $W^{k,p}(V)$ 中逼近 $u$, 即:

$$\Vert u_m-u\Vert \to 0,u_m,u\in W^{k,p}(V)$$

2.2.2 内部逼近

借助我们前边建立的局部逼近定理,我们可以借助单位分解定理证明内部逼近定理.

定理 11. (内部逼近) 设 $u\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })$, 其中 $1\le p<\mathrm{\infty }$, 存在函数列 $u_k\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })\cap C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ 中逼近 $u$, 即:

$${\Vert u_m-u\Vert }_{W^{k,p}}\to 0,u_m,u\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })$$

证明: 定义开集 ${\mathrm{\Omega }}_0=\varnothing ,{\mathrm{\Omega }}_i=\{\mathit{x}\in \mathrm{\Omega }|\mathrm{dist}(\mathit{x},\partial \mathrm{\Omega })>\frac{1}{i},|\mathit{x}\mid <i\}$, 显然 $\mathrm{\Omega }=\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{\Omega }}_{i+2}-{\overline{\mathrm{\Omega }}}_i)=({\mathrm{\Omega }}_2-{\overline{\mathrm{\Omega }}}_0)\cup ({\mathrm{\Omega }}_3-{\overline{\mathrm{\Omega }}}_1)\cup \cdots$ 任一紧集 $K\subset \mathrm{\Omega }$ 仅与有限个开集 ${\mathrm{\Omega }}_{i+2}-{\overline{\mathrm{\Omega }}}_i$ (记为 $V_i)$ 相交. 由单位分解定理知存在相应的单位分解:

$${\alpha }_i\in C_0^{\mathrm{\infty }}\left(V_i\right),\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_i=1,x\in \mathrm{\Omega }$$

因此: $u=\sum {\alpha }_{i}u=\sum u_i$. 同时注意到对每个 $\mathrm{\Omega }$ 中的紧集 $K$, 它至多和有限个 $V_i$ 相交 .

根据局部逼近定理我们知道, 当 ${\epsilon }_i$ 充分小时:

$$\mathrm{supp}\left(J_{{\epsilon }_i}{u}_i\right)\subset V_i,{\Vert J_{{\epsilon }_i}{u}_i-u\Vert }_{W^{k,p}}<\frac{\epsilon }{2^{i+1}}$$

记 $w=\sum J_{{\epsilon }_i}{u}_i$. 由于每个紧集 $K$ 至多和有限个 $\mathrm{supp}\left(J_{{\epsilon }_i}{u}_i\right)$ 相交, 因此 $w\in C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$, 由 Minkowski不等式, 我们可以得到:

$$\begin{array}{rl}\Vert w-u{\Vert }_{k,p,\mathrm{\Omega }}& ={\Vert \sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{J}_{{\epsilon }_i}\left(u{\alpha }_i\right)-\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}u{\alpha }_i\Vert }_{k,p,\mathrm{\Omega }}\\ & ⩽\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\Vert J_{{\epsilon }_i}\left(u{\alpha }_i\right)-u{\alpha }_i\Vert }_{k,p,\mathrm{\Omega }}\\ & ⩽\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\epsilon }{2^{i+1}}=\epsilon .\end{array}$$

因此定理得证.

2.3.3 边界光滑逼近

现在我们要提问,能否找到 $u\in C^{\mathrm{\infty }}(\overline{\mathrm{\Omega }})$ 取逼近 $W^{m,p}$ 中的函数.此时我们就需要对边界提出一些要求.

我们先考察边界是平展的情况.

引理 12. 如果 $u\in W_p^k\left({\mathbb{R}}_{+}^n\right)$, 那么存在 $u_j\in C^{\mathrm{\infty }}\left(\overline{{\mathbb{R}}_{+}^n}\right)$, 在 $W^{k,p}\left({\mathbb{R}}_{+}^n\right)$ 中 $u_j⟶u$. 这里, $\overline{{\mathbb{R}}_{+}^n}=\{x\in {\mathbb{R}}^n:x_n⩾0\}$.

证明: 对 $u\in W^{k,p}$, 我们定义 $u_{\eta }(x):=u(x^{\prime },x_n+\eta ),x^{\prime }=(x_1,\cdots ,x_{n-1})$. 这里显然只要 $x_n+\eta >0,u_{\eta }$ 就有意义. 由 $L^p$ 的整体连续性我们知道:

$${\Vert u_{\eta }-u\Vert }_{k,p}\to 0,\eta \to 0^{+}$$

现在对 $u_{\eta }$ 进行磨光, 就得到了 $J_{\epsilon }{u}_{\eta }$, 只要 $\epsilon <\frac{\eta }{2}$, 我们就得到了:

$$J_{\epsilon }{u}_{\eta }\in C^{\mathrm{\infty }}\left(\{y_n>-\frac{\eta }{2}\}\right),{\Vert J_{\epsilon }{u}_{\eta }-u_{\eta }\Vert }_{k,p}\to 0$$

因此我们就有:

$${\Vert J_{\epsilon }{u}_{\eta }-u\Vert }_{k,p}⩽{\Vert J_{\epsilon }{u}_{\eta }-u_{\eta }\Vert }_{k,p}+{\Vert u_{\eta }-u\Vert }_{k,p}\to 0$$

现在令 $\epsilon =\frac{1}{k},\eta =\frac{3}{k},u_k=J_{\frac{1}{k}}{u}_3$. 于是定理得证.

这里就可以观察到, 这里证明的关键在于构造了 $u_{\eta }$ 这样的函数, 以及 $u_{\eta }$ 所具有的良好性质, 这都离不开区域在边界具有某种可以平移的良好性质.

定理 13. 如果 $\mathrm{\Omega }$ 有界并且 $\partial \mathrm{\Omega }\in C^m,u\in W^{m,p}(\mathrm{\Omega })$, 那么存在 $u_m\in C^{\mathrm{\infty }}(\overline{\mathrm{\Omega }})$, 在 $W^{m,p}(\mathrm{\Omega })$ 中 $u_m⟶u$.

分析: 证明的基本思想就是先局部化, 利用边界的光滑性质将其变为展平, 对展平的函数找到逼近函数, 再返回到原来的边界, 利用单位分解定理将所得函数拼起来得到 整体光滑的函数.

证明: (1): 由于边界是有界的, 因此首先利用开覆盖定理, 就可以找到有限个开球覆盖边界 ${\left\{O_i\right\}}_{i=1}^N$, 利用变换 $y={\varphi }_i(x)$ 将边界映到 ${\mathbb{R}}^n$ 使得:

$${\varphi }_i\left(O_i\right)=B_1(0),{\varphi }_i(\mathrm{\Omega }\cap O_i)=B_1^{+}(0),{\varphi }_i(\partial \mathrm{\Omega }\cap O_i)=\{y_n=0\}\cap B_1(0)$$

我们再取 $O_0⋐\mathrm{\Omega }$, 使得 $\mathrm{\Omega }\subset \bigcup _{i=0}^n{O}_i$. 因此有从属于该开覆盖的单位分解 ${\alpha }_i\in C_0^{\mathrm{\infty }}\left(O_i\right),\sum _{i=0}^N{\alpha }_i(\mathit{x})=1,\mathit{x}\in \mathrm{\Omega }$, 令:

$$u=u\sum _{i=0}^N{\alpha }_i=\sum _{i=0}^{N}u{\alpha }_i=\sum _{i=1}^N{u}_i,u_i=u{\alpha }_i$$

这里的局部有限性导致了对于任意的 $x_0\in K\subset \subset \mathrm{\Omega }$, 求和只能是有限个. 由弱导数的性质 4 , 我们知道 $u_i\in W^{k,p}\left(O_i\right)$, 将其进行零延拓就得到 $u_i\in W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)$. 由于 $O_0$ 不包含边界, 因此直接利用局部逼近定理就可以得到存在 $u_{\mathrm{ok}}\in C_0^{\mathrm{\infty }}\left({\mathbb{R}}^n\right)$ 逼近 $u_0$.

(2): 现在我们讨论边界上的情况. 首先我们证明一个引理:

引理 14. 记号同上. 设 $u_i\in W^{1,p}(O_i\cap \mathrm{\Omega })$, 记函数 $u_i(x)=u_i({\varphi }_i^{-1}(y))=v(y)$. 现在我们证明 $v(y)\in W^{1,p}(B_1^{+}(0))$, 并且链式法则成立:

$$\frac{\partial v_i}{\partial y_k}=\frac{\partial u_i}{\partial x_l}\frac{\partial x_l}{\partial y_k},\frac{\partial u_i}{\partial x_l}=\frac{\partial v_i}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_l}$$

并且有如下等价范数:

$$C^{-1}||v_i\Vert {}_{1,p,B_1^{+}(O)}⩽\Vert u_i\Vert {}_{1,p,\mathrm{\Omega }\cap O_i}⩽C\mid \Vert v_i{\Vert }_{1,p,B_1^{+}(O)}$$

证明: 证明的基本思想是利用光滑函数逼近定理. 由于 $u_i\in W^{1,p}$, 因此存在光滑函数 $u_{\mathrm{ih}}\in C^{\mathrm{\infty }}(O_i\cap \mathrm{\Omega })$ 逼近 $u_i$. 我们记 $v_{\mathrm{ih}}$ 是对应复和函数, 则光滑函数的链式法则是成立

$$\frac{\partial v_{ih}}{\partial y_k}(\mathit{y})=\frac{\partial u_{ih}}{\partial x_l}({\varphi }^{-1}(\mathit{y}))\frac{\partial x_l(\mathit{y})}{\partial y_k},\frac{\partial u_{ih}}{\partial x_l}(\mathit{x})=\frac{\partial v_{ih}}{\partial y_k}(\varphi (\mathit{x}))\frac{\partial y_k(\mathit{x})}{\partial x_l}$$

因此对应任意的 $\phi (y)\in C_0^{\mathrm{\infty }}(B_1^{+}(0))$, 有:

$$-{\int }_{B_1^{+}(O)}{v}_{ih}(\mathit{y})\frac{\partial {\phi }_1}{\partial y_k}(\mathit{y})\mathrm{d}\mathit{y}={\int }_{B_1^{+}(O)}\frac{\partial u_{ih}}{\partial x_l}({\varphi }^{-1}(\mathit{y}))\frac{\partial x_l(\mathit{y})}{\partial y_k}{\phi }_1(\mathit{y})\mathrm{d}\mathit{y}$$

作逆变换:

$$-{\int }_{\mathrm{\Omega }\cap O_i}{u}_{ih}(\mathit{x})\frac{\partial {\phi }_1}{\partial y_k}(\varphi (\mathit{x}))\left|\frac{\partial \mathit{y}(\mathit{x})}{\partial \mathit{x}}\right|\mathrm{d}\mathit{x}={\int }_{\mathrm{\Omega }\cap O_i}\frac{\partial u_{ih}}{\partial x_l}(\mathit{x})\frac{\partial x_l}{\partial y_k}(\varphi (\mathit{x})){\phi }_1(\varphi (\mathit{x}))\left|\frac{\partial \mathit{y}(\mathit{x})}{\partial \mathit{x}}\right|\mathrm{d}\mathit{x}$$

由于 $L^p$ 中的强收敛蕴含弱收敛, 因此当 $h\to 0$ 时, 极限可以取进去, 于是就有:

$$-{\int }_{\mathrm{\Omega }\cap O_i}{u}_i(\mathit{x})\frac{\partial {\phi }_1}{\partial y_k}(\varphi (\mathit{x}))\left|\frac{\partial \mathit{y}(\mathit{x})}{\partial \mathit{x}}\right|\mathrm{d}\mathit{x}={\int }_{\mathrm{\Omega }\cap O_i}\frac{\partial u_i}{\partial x_l}(\mathit{x})\frac{\partial x_l}{\partial y_k}(\varphi (\mathit{x})){\phi }_1(\varphi (\mathit{x}))\left|\frac{\partial \mathit{y}(\mathit{x})}{\partial \mathit{x}}\right|\mathrm{d}\mathit{x}$$

再次逆回去.

$$-{\int }_{B_1^{+}(O)}{v}_i(\mathit{y})\frac{\partial {\phi }_1}{\partial y_k}(\mathit{y})\mathrm{d}\mathit{y}={\int }_{B_1^{+}(O)}\frac{\partial u_i}{\partial x_l}({\varphi }^{-1}(\mathit{y}))\frac{\partial x_l}{\partial y_k}(\mathit{y}){\phi }_1(\mathit{y})\mathrm{d}\mathit{y}$$

至于范数的等价性我们在数学分析中已经熟悉了.这里频繁的逆变换是因为我们并不清楚变换到 $B_1^{+}(0)$ 的函数有什么样的性质, 因此做什么都只能在原来的积分做好了再变回去.

(3): 回到原定理的证明.

由于 $v_i\in W^{k,p}(B_1^{+}(0))$ 在 $B_1^{+}(0)$ 具有紧支集因此我们将其进行零延拓之后 $v_i\in W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)$. (记为 ${\tilde{v}}_i)$. 并且我们知道 $\mathrm{spt}\left(v_i\right)\subset B_1^{+}(0)$, 且 $\mathrm{spt}\left({\tilde{v}}_i\right)\subset \overline{B_1^{+}}$. 由引理 12 知存在 ${\tilde{v}}_{ik}\in C^{\mathrm{\infty }}\left(\overline{{\mathbb{R}}_{+}^n}\right)$ 满足 $\mathrm{spt}\left({\tilde{v}}_{ik}\right)\subset B_1(O),{\Vert {\tilde{v}}_{ik}-{\tilde{v}}_i\Vert }_{m,p,B_1^{+}(O)}={\Vert {\tilde{v}}_{ik}-{\tilde{v}}_i\Vert }_{m,p,{\mathbb{R}}_{+}^n\to 0}(k\to \mathrm{\infty })$. 回到变量 $\mathit{x}$, 由 6 式知存在 $u_{ik}\in C^m\left(\overline{O_i\cap \mathrm{\Omega }}\right)$ 满足

(4): 令

$${\tilde{u}}_{ik}=\{\begin{array}{ll}{u}_{ik},& x\in O_i,\\ 0,& x\in \mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }{O}_i,\end{array}{u}_k=\sum _{i=0}^N{\tilde{u}}_{ik}.$$

显然 $u_k\in C^m(\overline{\mathrm{\Omega }})$, 并且

$$\mathrm{spt}\left(u_{ik}\right)\subset O_i,{\Vert u_{ik}-u_i\Vert }_{m,p,O_i\cap \mathrm{\Omega }}⩽C{\Vert v_{ik}-v_i\Vert }_{m,p,B_1^{+}}\to 0,k\to \mathrm{\infty }$$

$$\begin{array}{rl}{\Vert u-u_k\Vert }_{m,p,\mathrm{\Omega }}& ={\Vert \sum _{i=0}^N(u_i-u_{ik})\Vert }_{m,p,\mathrm{\Omega }}⩽\sum _{i=0}^N{\Vert u_i-u_{ik}\Vert }_{m,p,\mathrm{\Omega }}\\ & =\sum _{i=0}^N{\Vert u_i-u_{ik}\Vert }_{m,p,\mathrm{\Omega }\cap {\mathrm{\Omega }}_i}\to 0.\end{array}$$

因此定理得证.

2.2.4 逼近定理的应用

定理 15. $C_0^{\mathrm{\infty }}\left({\mathbb{R}}^n\right)$ 在 $W^{k,p}\left({\mathbb{R}}^n\right)$ 中稠.

证明: 对 $u$ 进行磨光, 那么 $J_{\epsilon }u\in C^{\mathrm{\infty }}\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 对固定的 $\epsilon$, 记 $w=J_{\epsilon }u$, 我们取截断函数 $\zeta \in C_0^{\mathrm{\infty }}(B_2(0)),0\le \zeta \le 1$, 且在 $B_1(0)$ 上有 $\zeta =1$, 令：

$$w_k(x)=w\zeta \left(\frac{x}{k}\right)$$

因此 $w_k\in C_0^{\mathrm{\infty }}\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 利用莱布尼茨求导法则:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }}{w}_k(\mathit{x})& =\sum \left(\begin{array}{c}\mathit{\alpha }\\ \mathit{\beta }\end{array}\right){\mathrm{D}}^{\mathit{\beta }}\left(\zeta \left(\frac{\mathit{x}}{k}\right)\right){\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }-\mathit{\beta }}w\\ & =\zeta \left(\frac{\mathit{x}}{k}\right){\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }}w+\sum _{\begin{array}{c}\mathit{\beta }⩽\mathit{\alpha }\\ |\mathit{\beta }|>0\end{array}}\left(\begin{array}{c}\mathit{\alpha }\\ \mathit{\beta }\end{array}\right)k^{-|\mathit{\beta }|}\left({\mathrm{D}}^{\mathit{\beta }}\zeta \right)\left(\frac{\mathit{x}}{k}\right){\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }-\mathit{\beta }}w\end{array}$$

因此:

$$\begin{array}{rl}\Vert D^{\alpha }{w}_k-D^{\alpha }w\Vert & \le {\Vert \zeta \left(\frac{x}{k}\right)D^{\alpha }w-D^{\alpha }w\Vert }_p+{\left|\sum _{\begin{array}{c}\mathit{\beta }⩽\mathit{\alpha }\\ |\mathit{\beta }|>0\end{array}}\left(\begin{array}{c}\mathit{\alpha }\\ \mathit{\beta }\end{array}\right)\frac{1}{k^{|\mathit{\beta }|}}\left({\mathrm{D}}^{\mathit{\beta }\zeta }\left(\frac{\mathit{x}}{k}\right)\right)D^{\mathit{\alpha }-\mathit{\beta }}w\right|}_{0,p,{\mathbb{R}}^n}\\ & \le {\left({\int }_{|\mathit{x}|>k}{\left|{\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }}w\right|}^{p}d\mathit{x}\right)}^{\frac{1}{p}}+\frac{C}{k}\Vert w{\Vert }_{m,p,{\mathbb{R}}^n\to 0,k\to \mathrm{\infty }}\end{array}$$

取 $u_k=w_k$ 命题即得证明.

例 16. (求导法则) 若 ${\varphi }_1,\frac{\partial {\varphi }_1}{\partial x_i}\in L^p(\mathrm{\Omega }),{\varphi }_2,\frac{\partial {\varphi }_2}{\partial x_i}\in L^{p^{\prime }}(\mathrm{\Omega }),\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime }}=1$, 则 ${\varphi }_1{\varphi }_2\in L^1(\mathrm{\Omega })$ 且

$$\frac{\partial }{\partial x_i}\left({\varphi }_1{\varphi }_2\right)={\varphi }_1\frac{\partial {\varphi }_2}{\partial x_i}+{\varphi }_2\frac{\partial {\varphi }_1}{\partial x_i}$$

$$\int \left({\varphi }_1{\varphi }_2\right)\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}\mathrm{dx}=-\int ({\varphi }_1\frac{\partial {\varphi }_2}{\partial x_i}+{\varphi }_2\frac{\partial {\varphi }_1}{\partial x_i})\varphi \mathrm{d}\mathit{x}$$

特别地, 当 ${\varphi }_1,{\varphi }_2\in H^1(\mathrm{\Omega })$ 时, 结论成立.

证明:等价于证明:对于任意的 $\varphi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$, 都有:
我们对 ${\varphi }_i$ 进行磨光, 得到了 $J_{\epsilon }{\varphi }_i$, 由Holder不等式可知:

$$\Vert {\varphi }_1\cdot {\varphi }_2\Vert ⩽{\Vert {\varphi }_1\Vert }_p\cdot {\Vert {\varphi }_2\Vert }_{p^{\prime }}$$

因此 ${\varphi }_1\cdot {\varphi }_2\in L^1$. 由于磨光后的函数是满足对应的分部积分的,因此:

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}{J}_{\epsilon }{\varphi }_1{J}_{\epsilon }{\varphi }_2\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}d\mathit{x}=-{\int }_{\mathrm{\Omega }}(J_{\epsilon }{\varphi }_1\frac{\partial \left(J_{\epsilon }{\varphi }_2\right)}{\partial x_i}+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(J_{\epsilon }{\varphi }_1\right)\cdot J_{\epsilon }{\varphi }_2)\varphi \mathrm{d}\mathit{x},$$

现在我们只需要证明等式中的对$\epsilon$取极限结论是成立的即可.

$$\begin{array}{rl}& |{\int }_{\mathrm{\Omega }}{J}_{\epsilon }{\varphi }_1\cdot J_{\epsilon }{\varphi }_2\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}d\mathit{x}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\varphi }_1{\varphi }_2\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}d\mathit{x}|\\ ⩽& {\int }_{\mathrm{\Omega }}|J_{\epsilon }{\varphi }_1-{\varphi }_1|J_{\epsilon }{\varphi }_2||\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}|d\mathit{x}+{\int }_{\mathrm{\Omega }}|{\varphi }_1|J_{\epsilon }{\varphi }_2-{\varphi }_2|\left|\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}\right|\mathrm{d}\mathit{x}\\ ⩽& M|J_{\epsilon }{\varphi }_1-{\varphi }_1|L^p{\left|J_{\epsilon }{\varphi }_2\right|}_{L^{p^{\prime }}}+{\left|{\varphi }_1\right|}_{L^p}{|J_{\epsilon }{\varphi }_2-{\varphi }_2|}_{L^{p^{\prime }}}\cdot \underset{x\in \mathrm{\Omega }}{sup}\left|\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}\right|\to 0,\epsilon \to 0.\end{array}$$

同理可证右侧.

例 17. 设 $1⩽p<\mathrm{\infty }$, 又设 $u,v\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })\cap L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$, 则 $uv\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })\cap L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ 且

$$\frac{\partial }{\partial x_i}(uv)=\frac{\partial u}{\partial x_i}v+u\frac{\partial v}{\partial x_i},x\in \mathrm{\Omega },i=1,\cdots ,n$$

证明思想和上边的求导法则 $r$ 如出一辙.

例 18. (复和运算) 设 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界开集. 若 $f(y)\in C^1\left({\mathbb{R}}^1\right),|f^{\prime }(y)|⩽M,y\in u\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$, 则 $g(\mathit{x})=f(u(\mathit{x}))\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ 且有链式法则

$$\frac{\partial g(\mathit{x})}{\partial x_i}=\frac{\partial }{\partial x_i}f(u(\mathit{x}))=f^{\prime }(u(\mathit{x}))\frac{\partial u}{\partial x_i},i=1,2,\cdots ,n$$

且如果 $u\in W^{1,p}$, 那么 $u^{+},u^{-},|u|\in W^{1,p}$. 且

$$D{u}^{+}(x)=\{\begin{array}{cc}Du(x),& u(x)>0\\ 0,& u(x)\le 0\end{array},D{u}^{-}(x)=\{\begin{array}{cc}Du(x),& u(x)<0\\ 0,& u(x)⩾0\end{array}$$

证明: 由逼近定理可知存在 $u_k\in C^1\cap W^{1,p}$ 使得:

$${\Vert u_k-u\Vert }_{1,p}\to 0$$

注意到:

$$\int |f\left(u_k\right)-f(u)|\mathrm{dx}⩽\int M|u_k-u|\mathrm{dx}\to 0$$

以及:

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{\mathrm{\Omega }}|f^{\prime }\left(u_k\right)\frac{\partial u_k}{\partial x_i}-f^{\prime }(u)\frac{\partial u}{\partial x_i}|\mathrm{d}\mathit{x}\\ ⩽& M{\int }_{\mathrm{\Omega }}|\frac{\partial u_k}{\partial x_i}-\frac{\partial u}{\partial x_i}|\mathrm{d}\mathit{x}+{\int }_{\mathrm{\Omega }}|f^{\prime }\left(u_k\right)-f^{\prime }(u)|\left|\frac{\partial u}{\partial x_i}\right|\mathrm{d}x\end{array}$$

第一项是自然的趋于 0 的,第二项可以被 $2M|\mathrm{Du}|$ 控制, 因此利用 Lebesgue控制收敛定理也可以得知当 $k\to \mathrm{\infty }$ 时,其极限为 0

由于 $f,u_k$ 是光滑的, 因此求导法则成立, 故有:

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}f(u_k(x))\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}d\mathit{x}=-{\int }_{\mathrm{\Omega }}\frac{\partial f\left(u_k\right)}{\partial x_i}\varphi \mathrm{d}\mathit{x}=-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{\prime }\left(u_k\right)\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\varphi \mathrm{d}\mathit{x}.$$

利用前边建立的两个不等式就可以得到证明.

以 $u^{+}$为例. 我们取特别的逼近函数:

$$f_{\epsilon }(t)=\{\begin{array}{ll}{(t^2+{\epsilon }^2)}^{1/2}-\epsilon ,& t>0\\ 0& ,t⩽0\end{array}$$

将 $f_{\epsilon }$ 带入 $f$, 令 $\epsilon \to 0$, 于是定理得证.