Sobolev空间一

1. 弱导数

1.1 定义

定义 1. (弱导数) 设 $u\in L_{\mathrm{loc}}^1(U),\alpha \in {\mathbb{N}}^n$. 我们说 $u(x)$ 是 $\alpha$ 阶弱可微函数, 如果存 在 $v\in L_{\mathrm{loc}}^1(U)$ 使得

$${\int }_{U}u{D}^{\alpha }\varphi dx=(-1{)}^{|\alpha |}{\int }_{U}v\varphi dx,\mathrm{\forall }\varphi \in C_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\infty }}(U).$$

此时, 我们就称 $v$ 是 $u$ 的 $\alpha$ 阶弱导数, 记为 $D^{\alpha }u=v$,

• 弱导数具有唯一性. 假设 $u$ 有 $\alpha$ 阶弱导数. 假设不唯一, 那么必然存在 $v_1,v_2$, 使得满足上述的分部积分公式, 因此我们有:

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}(v_1-v_2)\varphi dx,\mathrm{\forall }\varphi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$$

于是我们就可以得到 $v_1=v_2$, a.e. $x\in U$.

• 弱导数定义的一致性. 如果 $u\in C^m$, 那么 $u$ 的弱导数就是其古典导数 $(|\alpha |⩽m)$.

下边的例子可以告诉我们,弱导数是古典导数的一种推广.

例 2. 设 $n=1,\mathrm{\Omega }=(0,2)$ 且 $u(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0<x⩽1,\\ 1,& 1<x<2,\end{array}$ 定义 $v(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x⩽1,\\ 0,& 1<x<2,\end{array}$ 则 $u^{\prime }(x)=v(x)$.

但是这并不意味着, 分段可导的函数 $\mathrm{j}$ 就具有整体的弱导数.

例 3. 设 $n=1,\mathrm{\Omega }=(0,2)$, 且 $u(x)=\{\begin{array}{l}x,0<x\le 1\\ 2,1<x<2\end{array}$, 则 $u^{\prime }(x)$ 在 $(0,2)$ 不存在.

证: 反证假设存在. 那么我们可以得到:

$${\int }_0^{2}u{\varphi }_{x}dx=-{\int }_0^{2}v\varphi \mathrm{d}x,\mathrm{\forall }\varphi \in C_0^{\mathrm{\infty }}((0,2))$$

注意到紧支集的定义, 因此我们将 $u$ 带入分部积分就可以得到: $LHS=-\varphi (1)-{\int }_0^1\varphi (x)\mathrm{dx}$. 此时我们取:

$${\varphi }_m(x)=\{\begin{array}{ll}c\cdot \exp \left\{\frac{1}{(m^2(x-1{)}^2-1)}\right\},& |x-1|<\frac{1}{m},\\ 0,& \text{ 其他, }\end{array}$$

其中 $0\le {\varphi }_m\le 1,{\varphi }_m(1)=1,{\varphi }_m(x)\to 0,x\ne 1,m\to \mathrm{\infty }$, 对:

令 $m\to \mathrm{\infty }$, 就可以得到: $1=0$, 因此矛盾.

$${\varphi }_m(1)+{\int }_0^{1}x{\varphi }_m(x)\mathrm{dx}={\int }_0^2{u}_x{\varphi }_m(x)\mathrm{d}\mathrm{x}$$

1.2 性质

弱导数和导数在运算上具有很多相似的地方:

命题 4. 设 $u,v\in W^{k,p}(U),|\alpha |\le k$, 则:

(1) ${\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }}u\in W^{k-|\mathit{\alpha }|}(U)$ 且 ${\mathrm{D}}^{\mathit{\beta }}\left({\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }}u\right)={\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }}\left({\mathrm{D}}^{\mathit{\beta }}u\right)={\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }+\mathit{\beta }}u,\mathrm{\forall }|\mathit{\alpha }|+|\mathit{\beta }|⩽k$;

(2) $\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in \mathbb{R},\lambda u+\mu v\in W^{k,p}(U)$ 且 ${\mathrm{D}}^{\alpha }(\lambda u+\mu v)=\lambda {\mathrm{D}}^{\alpha }u+\mu {\mathrm{D}}^{\alpha }v,|\mathit{\alpha }|⩽k$;

(3) 如果 $V$ 是 $U$ 的一个开集, 则 $u\in W^{k,p}(V)$;

(4) 如果 $\xi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(U)$, 则 $\xi u\in W^{k,p}(U)$ 且 ${\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }}(\xi u)=\sum _{\mathit{\beta }⩽\mathit{\alpha }}\left(\begin{array}{c}\mathit{\alpha }\\ \mathit{\beta }\end{array}\right){\mathrm{D}}^{\mathit{\beta }}\xi {\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }-\mathit{\beta }}u$, 其中, $\left(\begin{array}{c}\mathit{\alpha }\\ \mathit{\beta }\end{array}\right)={\mathrm{C}}_{\mathit{\alpha }}^{\mathit{\beta }}=\frac{\mathit{\alpha }!}{\mathit{\beta }!(\mathit{\alpha }-\mathit{\beta })!}$.

证明:(1):注意到如下的关系式:

$$\int D^{\alpha }\left(D^{\beta }u\right)\varphi \mathrm{dx}=(-1{)}^{|\alpha |}\int D^{\beta }u\cdot D^{\alpha }\varphi \mathrm{dx}=(-1{)}^{|\alpha |+|\beta |}\int u{D}^{\alpha +\beta }\varphi \mathrm{dx}$$

从上边的等式中我们可以看出 (1)成立.

$(2)/(3)$ : 显然.

(4): 我们利用数学归纳法来证明:首先看 $k=1$ 的情况, 即证明:

$$\frac{\partial (\xi u)}{\partial x_i}={\xi }_{i}u+u_i\xi$$

我们只需要验证, 对任意的 $\varphi \in C_0^{\mathrm{\infty }}$,两边分别与 $\varphi$ 积分相同即可.

$$\begin{array}{rl}\int (u\frac{\partial \xi }{\partial x_i}+\xi \frac{\partial u}{\partial x_i})\varphi \mathrm{d}x& =\int u\frac{\partial \xi }{\partial x_i}\varphi \mathrm{d}x+\int \frac{\partial u}{\partial x_i}\xi \varphi \mathrm{d}x\\ & =\int u\frac{\partial \xi }{\partial x_i}\varphi \mathrm{d}x-\int u\cdot \frac{\partial }{\partial x_i}(\xi \varphi )\mathrm{d}x=-\int u\xi \cdot {\varphi }_{x_i}\mathrm{d}\mathrm{x}\end{array}$$

现在我们假设对 $k=l$ 结论是成立的, 往证 $l+1$ 的情况 $\mathrm{y}$ 也是成立的. 令: $\alpha =\beta +\gamma$ 其中 $|\beta |=l,|\gamma |=1$, 我们验证分部积分公式.

$$\begin{array}{rl}{\int }_U\zeta u{D}^{\alpha }\varphi dx& ={\int }_U\zeta u{D}^{\beta }\left(D^{\gamma }\varphi \right)\mathrm{dx}=(-1{)}^{|\beta |}{\int }_U\sum _{\sigma \le \beta }\left(\begin{array}{c}\beta \\ \sigma \end{array}\right)D^{\sigma }\zeta D^{\beta -\sigma }u{D}^{\gamma }\varphi \mathrm{dx}\\ & =(-1{)}^{|\beta |+|\gamma |}{\int }_U\sum _{\sigma \le \beta }\left(\begin{array}{c}\beta \\ \sigma \end{array}\right)D^{\gamma }\left(D^{\sigma }\zeta D^{\beta -\sigma }u\right)\varphi \mathrm{dx}\\ & =(-1{)}^{|\alpha |}{\int }_U\sum _{\sigma \le \beta }\left(\begin{array}{c}\beta \\ \sigma \end{array}\right)[D^{\rho }\zeta D^{\alpha -\rho }u+D^{\sigma }\zeta D^{\alpha -\sigma }u]\varphi \mathrm{dx}\\ & =(-1{)}^{|\alpha |}{\int }_U\left[\sum _{\sigma \le \alpha }\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \sigma \end{array}\right)D^{\sigma }\zeta D^{\alpha -\sigma }u\right]\varphi \mathrm{dx}\end{array}$$

上述的证明中用到了组合数的一个基本性质:

其中 $\rho =\sigma +\gamma$.

$$\left(\begin{array}{c}\beta \\ \sigma -\gamma \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\beta \\ \sigma \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \sigma \end{array}\right)$$

但是, 弱导数和古典导数终究是有区别的.

例 5. 设 $|\mathit{x}|=\sqrt{\sum x_i^2}$, 取 $\mathrm{\Omega }=B(0,1)$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开单位球且 $u(\mathit{x})=|\mathit{x}{|}^{-\alpha },\mathit{x}\in \mathrm{\Omega },\mathit{x}\ne 0$. 试问当 $n,p,\alpha >0$ 取什么值时, $u\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ ? 首先我们有: $u_{x_i}=-\frac{a{x}_i}{|x{|}^{a+2}}$, 因此 $|Du|=\frac{|a|}{|x{|}^{a+1}}$, 现在我们要保证 $|Du|\in L^p$, 因此:

显然要求: $0<a<\frac{n}{p}-1$.

$${\int }_{B(0,1)}\frac{1}{|x{|}^{(a+1)p}}\mathrm{dx}={\omega }_n{\int }_0^1\frac{1}{r^{(a+1)p}}{r}^{n-1}\mathrm{dr}$$

接下来我们验证分部积分公式：对于任何 $\varphi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }),\epsilon >0$ 有

$$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }B(0,\epsilon )}u{\varphi }_{x_i}\mathrm{dx}& ={\int }_{\partial B(0,\epsilon )}u\varphi \cdot v^{i}d{S}_x-{\int }_{\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }B(0,\epsilon )}{u}_{x_i}\varphi \mathrm{d}x\\ & ={\int }_{\partial B(0,\epsilon )}{\epsilon }^{-\alpha }\varphi v^{i}d{S}_x-{\int }_{\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }B(0,\epsilon )}{u}_{x_i}\varphi \mathrm{d}x\end{array}$$

因此分部积分如果成立, 就必要要求 $\epsilon \to 0$ 时, RHS 的第一项要趋于 0 , 对后者进行估值

$$\left|{\int }_{B(0,\epsilon )}{\epsilon }^{-\alpha }\varphi v^{i}d{S}_x\right|⩽|\varphi {|}_{L^{\mathrm{\infty }}}{\int }_{B(0,\epsilon )}{\epsilon }^{-\alpha }\mathrm{d}{S}_x⩽|\varphi {|}_{L^{\mathrm{\infty }}}{\epsilon }^{-\alpha }M{\epsilon }^{n-1}⩽M{\epsilon }^{n-\alpha -1}\to .0$$

由于我们要求 $\alpha <n/p-1$, 因此当 $\epsilon \to 0$ 时, 结论成立.

2. Sobolev空间

2. 1 定义

定义 6. $(\mathrm{Sobolev}$ 空间 ${\mathit{W}}^{m,p}(\mathbf{\Omega }))$ 对于 $1⩽p⩽+\mathrm{\infty }$, 记

$$W^{m,p}(\mathrm{\Omega })=\{v\in L^p(\mathrm{\Omega })|{\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }}v\in L^p(\mathrm{\Omega }),\mathrm{\forall }\mathit{\alpha }\in {\mathbb{Z}}_{+}^n,|\mathit{\alpha }\mid ⩽m\}$$

其中, $D^{\alpha }u$ 表述 $u$ 的 $\alpha$ 阶弱导数. 对 $u\in W^{m,p}$, 我们可以定义其范数为:

或者是:

$$\Vert u{\Vert }_{W^{m,p}(\mathrm{\Omega })}:={\left(\sum _{|\alpha |⩽m}{\Vert D^{\alpha }u\Vert }_p^p\right)}^{\frac{1}{p}}.$$

$$\Vert u{\Vert }_{W^{m,p}(\mathrm{\Omega })}:=\sum _{|\alpha |⩽m}{\Vert D^{\alpha }u\Vert }_p$$

由基本不等式可以得到这两个范数是等价范数. 特别的, 当 $p=2$ 时, 我们记 $W^{m,2}$ 为 $H^m$ 在该空间中我们可以定义内积使其称为一个Hilbert空间:

$$(u,v{)}_{H^m}:=\sum _{|\alpha |⩽m}{(D^{\alpha }u,D^{\alpha }v)}_{L^2}$$

当我们称 $f_k$ 在 $W^{m,p}$ 中收敛到 $f$ 时, 是指其按照范数收敛到 $f$. 即:

$$||f_k-f|{|}_{W^{m,p}}\to 0$$

类似$L_{loc}^1$空间,我们可以定义局部$W^{m,p}$空间.

$$W_{\mathrm{loc}}^{m,p}(\mathrm{\Omega })=\{v\in L_{\mathrm{loc}}^p(\mathrm{\Omega })|{\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }}v\in L_{\mathrm{loc}}^p(\mathrm{\Omega }),\mathrm{\forall }\mathit{\alpha }\in {\mathbb{Z}}_{+}^n,|\mathit{\alpha }\mid ⩽m\}$$

如果 $f\in W_{\mathrm{loc}}^{m,p}$, 那么我们就称其为一个Sobolev 函数.

现在我们说明这是一个赋范空间:

1. 范数的正定型:

这是显然的.

$$\Vert u{\Vert }_{W^{k,p}}=0⟺u=0,\text{ a. }ex\in U$$

2. 正齐次性也是 Trival的.
3. 三角不等式, 利用 $L^p$ 的三角不等式可以证明. 只考虑 $1\le p<\mathrm{\infty }$

$$\begin{array}{rl}\Vert u+v{\Vert }_{W^{k,p}(U)}& ={\left(\sum _{|\alpha |\le k}{|D^{\alpha }u+D^{\alpha }v|}_{L^p(U)}^p\right)}^{1/p}\\ & \le {\left(\sum _{|\alpha |\le k}{({\left|D^{\alpha }u\right|}_{L^p(U)}+{\left|D^{\alpha }v\right|}_{L^p(U)})}^p\right)}^{1/p}\\ & \le {\left(\sum _{|\alpha |\le k}{\left|D^{\alpha }u\right|}_{L^p(U)}^p\right)}^{1/p}+{\left(\sum _{|\alpha |\le k}{\left|D^{\alpha }v\right|}_{L^p(U)}^p\right)}^{1/p}\\ & =\Vert u{\Vert }_{W^{k,p}(U)}+\Vert v{\Vert }_{W^{k,p}(U)}.\end{array}$$

比较困难的是完备性的证明.

定理 7. $W^{m,p}(U)$ 是一Banach空间.

证明: 现在我们设 $\left\{f_k\right\}$ 是 $W^{m,p}$ 中的 Cauchy列, 往证: 存在一子列使得 $f_{k_j}$ 在 $W^{m,p}$ 中收敛到 $f$. 由于 $f_k$ 是基本列, 因此:

$${\Vert f_k-f_j\Vert }_{W^{m,p}}\to 0$$

1. 我们这里暂且只考虑 $1⩽p<\mathrm{\infty }$ 的情况. 故 $\left\{D^{\alpha }{f}_k\right\}$ 在 $L^p$ 中是 Cauchyl 列, 那么必然存在收敛的字列 $g^{\alpha }\in L^p$. 并且:

$${\Vert D^{\alpha }{f}_k-g^{\alpha }\Vert }_{W^{m,p}}\to 0$$

我们记 $g^{(0,\cdots ,0)}=g$, 现在证明 $g$ 的各 $\alpha$ 阶导数就是 $g^{\alpha }$. 首先我们有:

$$\int f_j{D}^{\alpha }\varphi \mathrm{dx}=(-1{)}^{|\alpha |}\int D^{\alpha }{f}_j\varphi \mathrm{dx}$$

$L^p$ 中的强收敛 (依范数收敛) 蕴含弱收敛, 因此当 $j\to \mathrm{\infty }$ 时, 就有 :

$$\int g{D}^{\alpha }\varphi \mathrm{dx}=(-1{)}^{|\alpha |}\int g^{\alpha }\varphi \mathrm{dx}$$

因此 $g^{\alpha }$ 就是 $g$ 的各阶导数, 且 $g^{\alpha }\in L^p$, 故 $g\in W^{m,p}$. 现在证明 ${\Vert f_k-g\Vert }_{W^{m,p}}\to 0$.

$$\begin{array}{rl}{\Vert f_j-g\Vert }_{W^{m,p}(\mathrm{\Omega })}^p& =\sum _{|\mathit{\alpha }|⩽m}{\int }_{\mathrm{\Omega }}{|{\mathrm{D}}^{\alpha }{f}_j-{\mathrm{D}}^{\alpha }g|}^{p}d\mathit{x}\\ & =\sum _{|\mathit{\alpha }|⩽m}{\int }_{\mathrm{\Omega }}{|{\mathrm{D}}^{\mathit{\alpha }}{f}_j-g^{\mathit{\alpha }}|}^{p}d\mathit{x}\to 0,k\to \mathrm{\infty }\end{array}$$

故定理得证.

下边看 $W^{m,p}$ 的可分性. 首先我们需要如下的引理:

引理 8. (i) 设 $(X_j,\Vert \cdot {\Vert }_j)$ 是Banach空间 $(j=1,2,\cdots ,m)$, 则笛卡儿乘积空 间 $X=\prod _{j=1}^m{X}_j$ 按照通常意义下的线性运算和范数(其中 $1\le p\le \mathrm{\infty })$

$$\Vert x{\Vert }_{(p)}={\left(\sum _{j=1}^m{\left|x_j\right|}_j^p\right)}^{1/p},x=(x_1,x_2,\cdots ,x_m)\in X$$

构成 Banach 空间 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_{(p)})$.

(ii) 若 $(X_j,\Vert \cdot {\Vert }_j)$ 都是可分空间 $(j=1,2,\cdots ,m)$ 且 $1\le p<\mathrm{\infty }$, 则 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_{(p)})$ 也是可分空间.

(iii) 若 $(X_j,\Vert \cdot {\Vert }_j)$ 都是自反空间 $(j=1,2,\cdots ,m)$ 且 $1<p<\mathrm{\infty }$, 则 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_{(p)})$ 也是自反空间.

(iv) 可分Banach空间的闭子空间还是可分Banach空间，自 反Banach空间的闭子空间也是自反Banach空间.

现在我们利用引理 8 就可以证明 $W^{m,p}$ 的可分性和自反性.

定理 9. 当 $1⩽p<\mathrm{\infty }$ 时, $W^{m,p}$ 是可分的, 当 $1<p<\mathrm{\infty }$ 时, $W^{m,p}$ 是自反的.

证明:我们记:

$$L_N^p(U)=L^p(U)\times L^p(U)\times \cdots \times L^p(U)$$

其中 $N$ 为所有 $|\alpha |\le k$ 的多重指标的个数. 并在上边定义范数为:

$$\Vert v{\Vert }_{L_N^p(U)}={\left(\sum _{j=1}^N{\left|v_j\right|}_{L^p(U)}^p\right)}^{1/p},v=(v_1,v_2,\cdots ,v_N)\in L_N^p(U)$$

因此这是一个Banach 空间, 且当 $1\le p<\mathrm{\infty }$ 空间可分, 当 $1<p<\mathrm{\infty }$ 空间是自反的.

为此我们构建 $W^{k,p}$ 到 $L_N^p$ 的映射:

$$P:W^{k,p}(U)\to L_N^p(U);P(u)=(D^{\alpha }u:|\alpha |\le k)$$

由于 $W^{k,p}$ 的完备性, 因此 $P{W}^{k,p}$ 在 $L_N^p$ 中是闭子空间, 并且: $W^{k,p}\to P{W}^{k,p}$ 是等距同构的, 由引理 8 的 $3/4$ 条可知, 当 $p$ 满足相应的关系时, 这个空间是可分的、自反的.