分布理论读书笔记三:Fourier变换

5.$\mathcal{S}$上的傅里叶变换

5.1.Schwartz函数空间$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$.

定义1:
设$\phi \in C^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^n)$，如果对任意非负多重指标$\alpha ,p$都有：

$$\underset{|x|\to \mathrm{\infty }}{lim}|x^{\alpha }{\partial }^p\phi |=0(eq1)$$

在${\mathbb{R}}^n$上是有界的.称这样的函数为速降函数，由速降函数构成的线性空间称为速降函数空间或者Schwartz空间,记为$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$.

关于Schwartz空间有以下的等价条件:

定理2: 速降函数的条件与下列两条件之一等价:

(1) 对任意重指标 $\alpha ,p$, 函数 $x^{\alpha }{\partial }^p\phi (x)$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上有界;

(2) 对任意正整数 $k$ 与重指标 $p$, 函数 ${(1+|x{|}^2)}^k{\partial }^p\phi (x)$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上有界.

证明:
eq 1$\Rightarrow$(1)是显然的.

(1)$\Rightarrow (2)$:首先注意到:
当$|x|>1$时：

$$|x{|}^{2k}\le (1+|x{|}^2{)}^k\le 2^k|x{|}^{2k}$$

而在$|x|\le 1$时${(1+|x{|}^2)}^k{\partial }^p\phi (x)$有界,故$\Rightarrow (2)$得证.

(2)$\Rightarrow$(3):

$$x^{\alpha }{\partial }^p\phi (x)=\frac{1}{|x{|}^2}\sum _{i=1}^n{x}_i^2{x}^{\alpha }{\partial }^p\phi (x)$$

由于后者是有界的,故当$|x|\to \mathrm{\infty }$时,(eq 1)是成立的.

容易看出,如果$f,g\in \mathcal{S},$则$fg\in \mathcal{S}$.如果$f(x)$是一多项式,$g\in \mathcal{S}$,那么:$fg\in \mathcal{S}$.设$\alpha$为任意的多重指标,$f\in \mathcal{S}$,则${\partial }^{\alpha }(f)\in \mathcal{S}$.

现在用如下的收敛性来规定空间$\mathcal{S}$上:

定义3:
设$f_k,f\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$,称$f_k$在$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$中收敛到$f$是指,对任意的多重指标$\alpha ,\beta$都有:

$$\underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{sup}=|x^{\alpha }({\partial }^{\beta }(f_k-f)|\to 0,k\to \mathrm{\infty }$$

5.2.$\mathcal{S}$上的傅里叶变换

定义4:
设$f\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$,称:

$$\hat{f}(\xi ):=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\int f(x)e^{-ix\cdot \xi }\mathrm{d}x,\xi \in {\mathbb{R}}^n(eq2)$$

为$f$的傅里叶变换.我们常用$\mathcal{F}$来表示傅里叶变换.

注: 首先我们先说明定义的合理性.由于:

$$|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)e^{-ix\cdot \xi }\mathbb{d}x|\le \Vert f{\Vert }_1$$

因此$\hat{f}$和$\check{f}$有明确的定义.更一般的,我们可以看出如果$f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$,那么上述的定义也是合理的.因此在$L^1({\mathbb{R}}^n)$上我们也可以定义如(eq 2)的傅里叶变换$\mathrm{以}\mathrm{后}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{总}\mathrm{承}\mathrm{认}\mathrm{这}\mathrm{一}\mathrm{点}..$

例5:[Gauss函数的傅里叶变换]
证明$\mathcal{F}(e^{-|x{|}^2/2})=e^{-|\zeta {|}^2/2}$.

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}\left({\mathrm{e}}^{-\frac{|\mathit{x}{|}^2}{2}}\right)& =(2\pi {)}^{-\frac{n}{2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-\frac{|\mathit{x}{|}^2}{2}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\mathit{\zeta }}\mathrm{d}\mathit{x}=(2\pi {)}^{-\frac{n}{2}}\prod _{j=1}^n{\int }_{{\mathbb{R}}^1}{\mathrm{e}}^{-\frac{|t{|}^2}{2}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t{\zeta }_j}\mathrm{d}t\\ & =(2\pi {)}^{-\frac{n}{2}}\prod _{j=1}^n{\int }_{{\mathbb{R}}^1}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{(t+\mathrm{j}{\zeta }_j)}^2}{\mathrm{e}}^{-\frac{{\zeta }_j^2}{2}}\mathrm{d}t=(2\pi {)}^{-\frac{n}{2}}\prod _{j=1}^n{e}^{-\frac{{\left|{\zeta }_j\right|}^2}{2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^1}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{\zeta }^2}\mathrm{d}\zeta \\ & =(2\pi {)}^{-\frac{n}{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{|\zeta {|}^2}{2}}\cdot (2\pi {)}^{\frac{n}{2}}={\mathrm{e}}^{-\frac{|\zeta {|}^2}{2}}.\end{array}$$

首先我们在此回顾几个算子:

1. 平移算子:${\tau }_{y}f(x)=f(x-y)$;
2. 伸缩算子:${\delta }_{a}f(x)=f(ax)$;
3. 反射算子:$\tilde{f}(x)=f(-x)$.

下边我们来看一下傅里叶变换的性质.这里我们针对更一般的$L^1({\mathbb{R}}^n)$中的函数来证明

定理6:
性质:

1. 若 $f\in L^1\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 则 $\Vert \hat{f}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}⩽(2\pi {)}^{-n/2}\Vert f{\Vert }_1$;

2. 若 $f\in L^1\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 则 $\hat{f}$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中一致连续;

3. (Riemann-Lebesgue 引理) 若 $f\in L^1\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 则

$$\underset{|\xi |\to \mathrm{\infty }}{lim}\hat{f}(\xi )=0;$$

4.若 $f\in L^1\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 则 $\widehat{{\tau }_{h}f}(\xi )=e^{-ih\cdot \xi }\hat{f}(\xi ),{\tau }_h\hat{f}(\xi )={(e^{ih\cdot x}f(x))}^{\hat{}}(\xi )$ 以 及 $\widehat{{\delta }_{a}f}(\xi )=a^{-n}\hat{f}\left(a^{-1}\xi \right)$

5.若 $f$ 与 $x_{k}f$ 都属于 $L^1\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 则

$$\frac{\partial \hat{f}(\xi )}{\partial {\xi }_k}=\widehat{(-i{x}_{k}f(x))}(\xi ),$$

若 $f$ 与 $\frac{\partial f}{\partial x_k}$ 都属于 $L^1\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 则

$$\widehat{(\frac{\partial f}{\partial x_k}})(\xi )=i{\xi }_k\hat{f}(\xi );$$

更一般的:

$$\widehat{{\partial }^{\alpha }f}(\xi )=(i\xi {)}^{\alpha }\hat{f}(\xi );({\partial }^{\alpha }\hat{f})(\xi )=\widehat{(-ix{)}^{\alpha }f(x)}(\xi )$$

6.若 $f,g\in L^1\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 则 $\widehat{f\ast g}(\xi )=(2\pi {)}^{n/2}\hat{f}(\xi )\cdot \hat{g}(\xi ),\mathcal{F}(f\cdot g)=\mathcal{F}(f)\ast \mathcal{F}(g)$.

7.如果$f,g\in L^1({\mathbb{R}}^n)$,那么$\int \hat{f}g\mathrm{d}x=\int f\hat{g}\mathrm{d}x$.

8.若$f,\hat{f}\in L^1({\mathbb{R}}^n)$,那么$f(x)=(2\pi {)}^{-n/2}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{f}(\zeta )e^{ix\cdot \zeta }\mathrm{d}\zeta$;

9.若$f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$.且$\hat{f}=0,a.ex\in {\mathbb{R}}^n$,那么$f$也几乎处处为0.

证明:
1.在说明$f$的合理性已经证明.

2.在这里我们先省略傅里叶变换中的系数.对任意的$\zeta ,\xi \in {\mathbb{R}}^n$,我们有:

$$|\int f(x)e^{-ix(\zeta +\mathrm{\Delta }\zeta )}-f(x)e^{-ix\zeta }\mathrm{d}x|=|\int f(x)e^{-ix\zeta }(1-e^{-ix\mathrm{\Delta }\zeta })\mathrm{d}x|$$

因为:

$$|f(x)e^{-ix\zeta }(1-e^{-ix\mathrm{\Delta }\zeta })|\le |f(x)|\cdot |e^{ix\cdot \mathrm{\Delta }\xi }-1|$$

又因为

$$\left|(1-e^{-ix\mathrm{\Delta }\varsigma })\right|\le 2$$

故:$|f(x)|\cdot |e^{ix\cdot \mathrm{\Delta }\xi }-1|$是$L^1$可积的.根据Lebesgue控制收敛定理,$2|f(x|)$可以作为$|f(x)|\cdot |e^{ix\cdot \mathrm{\Delta }\xi }-1|$的控制函数,故:

$$\underset{\mathrm{\Delta }\xi \to 0}{lim}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|e^{-ix\cdot \mathrm{\Delta }\xi }-1|\cdot |f(x)|dx=0$$

故:

$$\underset{|\mathrm{\Delta }\zeta |\to 0}{lim}\underset{\zeta \in {\mathbb{R}}^n}{sup}|\hat{f}(\zeta +\mathrm{\Delta }\zeta )-\hat{f}(\zeta )|=0$$

故一致连续.

3.利用光滑函数逼近定理,首先设$f\in C_0^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^n)$,则对于任意的$|\alpha |=1$,都有:

$$\begin{array}{rl}\hat{f}(\xi )& =\frac{1}{(-i\xi {)}^{\alpha }(2\pi {)}^{-n/2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\partial }^{\alpha }\left(e^{-ix\cdot \xi }\right)f(x)dx\\ & =-\frac{1}{(-i\xi {)}^{\alpha }(2\pi {)}^{-n/2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-ix\cdot \xi }{\partial }^{\alpha }f(x)dx.\end{array}$$

因此我们可以得到对任意的$|\alpha |=1$,都有:

$$|\hat{f}|\le C|\xi {|}^{\alpha }||{\partial }^{\alpha }f|{|}_1$$

因此当$\xi \to 0,|\hat{f}|\to 0$.现在考虑$f\in L^1$,则存在光滑函数$h$是的：

$$||f-h|{|}_1<\epsilon$$

因此:

$$|\hat{f}(\xi )|⩽|(\widehat{f-h})(\xi )|+|\hat{h}(\xi )|⩽\Vert f-h{\Vert }_1+|\hat{h}(\xi )|<ϵ+|\hat{h}(\xi )|\text{. }$$

令$|\xi |\to \mathrm{\infty }$以及$\epsilon \to 0$就可以得到证明.

4.直接积分就可以的.

5.为了证明 $(\mathrm{v})$ 的第一个等式, 设 $h=(0,\cdots ,0,h_k,0,\cdots ,0)$ 是 ${\xi }_k$ 轴上的非 零向量. 根据 (4) 的第二个等式与 Lebesgue 控制收敛定理,

$$\frac{\hat{f}(\xi +h)-\hat{f}(\xi )}{h_k}={\{\left(\frac{e^{-ix\cdot h}-1}{h_k}\right)f(x)\}}^{\wedge }(\xi )⟶{(-i{x}_{k}f(x))}^{\wedge }(\xi ),h_k\to 0$$

因为当 $h_k\to 0$ 时, $\frac{\left({\tau }_{-h}f\right)-f}{h_k}$ 在 $L^1\left({\mathbb{R}}^n\right)$ 意义下收敛到 $\frac{\partial f}{\partial x_k}$, 故由 (1) 与 (4) 的 第一个等式得知 $\frac{e^{h\cdot \xi }\hat{f}(\xi )-\hat{f}(\xi )}{h_k}$ 一致收敛到 $\frac{\widehat{\partial f}}{\partial x_k}(\xi )$. 易知 $\underset{h_k\to 0}{lim}\frac{e^{ih\cdot \xi }-1}{h_k}=i{\xi }_k$, 所以 (5) 的第二个等式得证.

6.利用Fubini定理即可.

7.利用Fubini定理即可.

8.证明,利用(7)我们在等式两边取$g(x)=e^{-|ϵx{|}^2/2}$,因此(下边的证明,我们省略前边的系数.)

$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{f}(x)e^{it\cdot x}{e}^{-|ϵx{|}^2/2}dx& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\left[\widehat{e^{it\cdot x}\varphi (ϵx)}\right]dx\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\left[{\tau }_t\widehat{\left({\delta }_{ϵ}\varphi \right)}\right](x)dx\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x){\hat{\varphi }}_{ϵ}(x-t)dx\end{array}$$

其中${\varphi }_{ϵ}:={ϵ}^{-n}\varphi ({ϵ}^{-1}x).$,我们知道$\widehat{{\varphi }_{ϵ}}={\varphi }_{ϵ}(x)$.且$\varphi$的积分为1，因此：

$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{f}(x)e^{it\cdot x}{e}^{-|ϵx{|}^2/2}dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x){\varphi }_{ϵ}(x-t)dx=(2\pi {)}^{n/2}f\ast {\tilde{\varphi }}_{ϵ}(t),$$

其中 $\tilde{\varphi }(x)=\varphi (-x)$. 将上式等号两边取极限 $ϵ\to 0$, 根据 Lebesgue 控制收敛定 理得

$$(2\pi {)}^{-n/2}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{f}(x)e^{it\cdot x}dx=f(t),\text{ a.e. }$$

9.利用8即可证明.

5.3.$\mathcal{S}$上的傅里叶逆变换

定义7：
设$f\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$,称:

$$\check{f}(x):=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(\zeta )e^{ix\zeta }\mathrm{d}\zeta$$

我们常用${\mathcal{F}}^{-1}$来表示傅里叶逆变换.

类似的,傅里叶逆变换的定义也是合理的,并且也可以定义在$L^1({\mathbb{R}}^n)$上.

首先我们先说明对任意的$f\in \mathcal{S}$,我们都有：

$$\hat{f}\in \mathcal{S}$$

这是因为:

$${\Vert x^{\alpha }\left({\partial }^{\beta }\hat{f}\right)(x)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}={\Vert {\left({\partial }^{\alpha }(x^{\beta }f(x))\right)}^{\wedge }\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le {\Vert {\partial }^{\alpha }(x^{\beta }f(x))\Vert }_{L^1}<\mathrm{\infty }.$$

因此我们可以对$\hat{f}$做傅里叶逆变换,我们希望有如下的结果:

$$\mathcal{F}({\mathcal{F}}^{-1}(f))=f,{\mathcal{F}}^{-1}(\mathcal{F}(f))=f$$

关于傅里叶逆变换我们有如下定理:

定理8:
对$f,g\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$,我们有:

1. $ \mathcal{F}(\mathcal{F}^{{-1}(f))=f,\mathcal{F}}(\mathcal{F}(f))=f$;
2. (Parseval等式) $\int f\overline{h}\mathrm{d}x=\int \hat{f}(\xi )=\overline{\hat{h}(\xi )}\mathrm{d}\xi$;
3. (Plancherel等式)$||f|{|}_2=||\hat{f}|{|}_2=||\check{f}|{|}_2$;
4. $\int fh\mathrm{d}x=\int \hat{f}(x)h^{\wedge }\mathrm{d}x$.

证明:

1. 第一个根据傅里叶变换的性质8我们知道当$f\in \mathcal{S}$时,$\hat{f}\in \mathcal{S}$,因此满足性质8的条件故可直接应用.第二个只需要令第一个等式的$f$变为$\tilde{f}$即可.
2. 我们只需要令$\overline{h}(x)=\hat{g}(x)\Rightarrow g(x)=\check{\overline{h}}(x)$.
3. 是(2)的直接推论.这里只需要注意到在当$f(x)\in \mathbb{C}$时,$L^2$范数的定义是$\int f\cdot \overline{f}\mathrm{d}x$即可.
4. (2)的直接推论.

因此我们可以得到推论:
推论9: 算子$\mathcal{F}$是$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$到自身的线性同构.

$L^p({\mathbb{R}}^n)$上的傅里叶变换,$1\le p\le 2$

现在我们要定义$L^2$上的Fourier变换.我们希望它能够像$L^1$一样,有

$$\hat{f}(\xi ):=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)e^{-ix\cdot \xi }dx,\xi \in {\mathbb{R}}^n$$

这种表现形式,但是很遗憾的是：这样的定义未必有意义,因为$L^2$可积不能得到$L^1$可积,因此我们不能依赖这种手段.但是幸运的是$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$在$L^1,L^2$中稠,而在这个集合上按照上式定义的Fourier变换是合理的，而他是$L^2$的一个线性子空间,Fourier变换是这个空间上的一个变换,我们可以利用Plancherel等式扩张到整个$L^2$空间上.

定理1: [Plancherel定理]
假如 $f\in L^1\left({\mathbb{R}}^n\right)\cap L^2\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 则 $\hat{f}\in L^2\left({\mathbb{R}}^n\right)$ 且
$$|\hat{f}{|}_2=|f{|}_2.$$
上述公式被称为Plancherel定理

注: 利用$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$在$L^p,1\le p<\mathrm{\infty }$中稠的性质我们可以很快的证明上述结论,但是在此我们给出一个不依赖于该结果的证明(虽然不是很有必要).

证明: 对$\alpha >0$,我们令:

$$h_{\alpha }(y)=\frac{1}{(\alpha {)}^{n/2}}{e}^{-|x{|}^2/(2\alpha )}$$

容易看出$\widehat{h_{\alpha }},|\hat{f}{|}^2\in L^1$,因此我们有:

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{{\mathbb{R}}^n}\widehat{h_{\alpha }}(x)|\hat{f}(x){|}^{2}dx\\ =& {\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y){\int }_{{\mathbb{R}}^n}\overline{f(z)}({\int }_{{\mathbb{R}}^n}\exp (ix\cdot (z-y))\widehat{h_{\alpha }}(x)dx)dzdy\\ =& {\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y){\int }_{{\mathbb{R}}^n}\overline{f(z)}{h}_{\alpha }(z-y)dzdy\\ =& {\int }_{{\mathbb{R}}^n}F(y)h_{\alpha }(y)dy\end{array}$$

这里 $F(y)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y+z)\overline{f(z)}dz$. 容易验证 $F$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的连续函数. 一个平凡的 计算告诉我们

$$\underset{\alpha \to 0^{+}}{lim}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}F(y)h_{\alpha }(y)dy=F(0)=\Vert f{\Vert }_2^2.$$

另一方面, 利用 Fatou 引理可知

$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi ⩽\underset{\alpha \to 0^{+}}{lim inf}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\widehat{h_{\alpha }}(\xi )|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi ,$$

所以 $\hat{f}\in L^2\left({\mathbb{R}}^n\right)$ 且 $\Vert \hat{f}{\Vert }_2⩽\Vert f{\Vert }_2$. 再利用 Lebesgue 控制收敛定理就知道

$$\underset{\alpha \to 0^{+}}{lim}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\widehat{h_{\alpha }}(x)|\hat{f}(x){|}^{2}dx=\Vert \hat{f}{\Vert }_2^2,$$

这就完成了定理的证明.

现在我们已经在$L^2$的一个稠密子空间$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$(因为他属于$L^1\cap L^2$)定义好了Fourier变换，现在我们将其扩张到整个空间上.

对任意的$f\in L^2$,我们取$\{{\varphi }_k\}\subset L^1\left({\mathbb{R}}^n\right)\cap L^2\left({\mathbb{R}}^n\right)$逼近$f$,因此他是$L^2$中的Cauchy列，我们用他的傅里叶变换的极限来定义极限函数的傅里叶变换.由于：

$$\mathcal{F}:L^2\to L^2$$

因此$\hat{\varphi }$仍在$L^2$中，又因为：

$$||\widehat{{\varphi }_k}-{\hat{\varphi }}_{k+p}|{|}_2=||{\varphi }_k-{\varphi }_{k+p}||\to 0$$

由$L^2$的收敛性我们可以得到：存在函数$g\in L^2$使得：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert \widehat{{\varphi }_k}-g\Vert }_2=0$$

我们就定义$g$为$f$的Fourier变换.

下边验证定义的合理性，即$g$的定义与逼近函数的选取无关.假设$\{{\varphi }_k\},\{{\psi }_k\}$是两组$ L^{1\left(\mathbb{R}}n\right) \cap L^{2\left(\mathbb{R}}n\right)$\mathrm{中}\mathrm{的}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{且}\mathrm{他}\mathrm{们}\mathrm{逼}\mathrm{近}$f$,那么有：

$${\Vert f-{\varphi }_k\Vert }_2\to 0,{\Vert f-{\psi }_k\Vert }_2\to 0$$

设$g_1,g_2$分别是他们对应的Fourier变换，那么：

$${\Vert g_1-g_2\Vert }_2⩽{\Vert g_1-\widehat{{\varphi }_k}\Vert }_2+{\Vert g_2-\widehat{{\psi }_k}\Vert }_2+{\Vert {\varphi }_k-{\psi }_k\Vert }_2$$

这意味$g_1=g_2,a.e$,在$L^2$的意义下$g_1$和$g_2$是相等的.

下边我们来看$L^2$中Fourier变换的性质：

定理2: 假设$f,g\in L^2$,那么我们有：

1.Plancherel公式成立:
$$|f{|}_2=|\hat{f}{|}_2$$

2.在$L^2$范数意义下：

$$\hat{f}(\xi )=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(2\pi {)}^{-n/2}{\int }_{|x|<N}f(x)e^{-ix\cdot \xi }dx,$$

$$f(x)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(2\pi {)}^{-n/2}{\int }_{|x|<N}\hat{f}(\xi )e^{ix\cdot \xi }d\xi$$

成立;

3.Parseval等式成立：

$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\overline{g(x)}dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$$

证明: (1):两者都等于逼近函数的范数的极限，因此是相等的.

(2):令:

$$f_N(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& \text{ 若 }|x|⩽N,\\ 0,& \text{ 若 }|x|>N,\end{array}$$

显然:$f_N\in L^1\left({\mathbb{R}}^n\right)\cap L^2\left({\mathbb{R}}^n\right)$,因此根据$L^2$Fourier变换的定义我们知道第一个等式成立的.

现在证明第二个部分,我们记$\tilde{f}(x)=f(-x)$,则$\tilde{f}\in L^2$,且容易验证$\hat{f}(-\xi )=\hat{\tilde{f}}(\xi )$,因为$\hat{f}\in L^2$,因次存在$g\in L^2$,

$$g(x)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(2\pi {)}^{-n/2}{\int }_{|\xi |<N}\hat{f}(\xi )e^{ix\cdot \xi }d\xi =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{|\xi |<N}(2\pi {)}^{-n/2}\hat{\tilde{f}}(\xi )e^{-ix\cdot \xi }d\xi$$

在$L^2$以下成立.

根据速降空间在$L^2$稠，因此我们取这个空间的函数列${\phi_k},||\phi_k-f||\to $,\mathrm{注}\mathrm{意}\mathrm{到}$\hat{\phi_k}\in L^1$,因此傅里叶逆变换成立:

$${\varphi }_k(x)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(2\pi {)}^{-n/2}{\int }_{|\xi |<N}{\hat{\varphi }}_k(\xi )e^{ix\cdot \xi }d\xi$$

又:

$$\begin{array}{rl}{\varphi }_k(x)& =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(2\pi {)}^{-n/2}{\int }_{|\xi |<N}{\hat{\varphi }}_k(\xi )e^{ix\cdot \xi }d\xi \\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(2\pi {)}^{-n/2}{\int }_{|\xi |<N}{\hat{\tilde{\varphi }}}_k(\xi )e^{-ix\cdot \xi }d\xi \end{array}$$

因此$g-{\varphi }_k$就是$\hat{\tilde{f}}-{\hat{\tilde{\varphi }}}_k$在$L^2$中的傅里叶变换,又：

$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert g-{\varphi }_k\Vert }_2=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert \hat{\tilde{f}}-{\hat{\tilde{\varphi }}}_k\Vert }_2=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert \hat{f}-{\hat{\varphi }}_k\Vert }_2=0$$

因此$f,g$几乎处处相等.故在$L^2$意义下相等

最后证明结论 (3). 对于 $f,g\in L^2\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 显然有

$$\Vert f+g{\Vert }_2^2=\Vert f{\Vert }_2^2+\Vert g{\Vert }_2^2+{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\overline{g(x)}dx+{\int }_{{\mathbb{R}}^n}g(x)\overline{f(x)}dx$$

以及

$$\Vert \hat{f}+\hat{g}{\Vert }_2^2=\Vert \hat{f}{\Vert }_2^2+\Vert \hat{g}{\Vert }_2^2+{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi +{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{g}(\xi )\overline{\hat{f}(\xi )}d\xi$$

成立. 根据 Plancherel 定理, 上述两式意味着

$$\mathrm{Re}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\overline{g(x)}dx=\mathrm{Re}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi .$$

另一方面, 对函数 $f+ig$ 重复上面的推导过程可得

$$\mathrm{Im}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\overline{g(x)}dx=\mathrm{Im}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi .$$

最后我们给几个注记:

1.不难证明$\mathcal{F}:L^2\to L^2$是一个等距同构；$\mathcal{F}:\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\to \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$也是一个等距同构.

2.对于$L^2$发Fourier变换而言,反演公式是成立的.

对一般的$f\in L^p,1\le p\le 2$,我们可以将其分解为$f=f_1+f_2$,其中$f_1\in L^1,f_2\in L^2$,由于$\mathcal{F}$是一个线性算子并且在$L^1,L^2$上都是定义好的,故我们定义$f\in L^p$的傅里叶变换为:

$$\mathcal{F}(f)=\mathcal{F}(f_1)+\mathcal{F}(f_2)$$

下边我们要证明其定义是合理的,即与$f$的分解方式无关,假设还有另一种分解$f=h_1+h_2$,那么：

$$f_1-h_1=f_2-h_2\in L^1\cap L^2$$

故:

$$\widehat{f_1-h_1}=\widehat{f_2-h_2}\Rightarrow {\hat{f}}_1+{\hat{f}}_2=\widehat{h_1}+{\hat{f}}_2=\widehat{f_1+f_2}=\widehat{h_1+h_2}$$

故定义是合理的.

6.${\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$上的傅里叶变换

6.1.缓增分布$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$

定义1: 称$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$上的(序列)连续线性泛函称为缓增分布,其组成的线性空间称为缓增分布空间记为${\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$.具体的,对任意的$\varphi \in \mathcal{S}$,存在$C>0,N\in \mathbb{N}$:

$$⟨u,\varphi ⟩\le C\sum _{|\alpha |\le N,\beta \le N}sup|x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\varphi |$$

在下文中,我们用:
$$\begin{array}{}\text{(1)}& D_j=-i{\partial }_j\end{array}$$
来表示新的微分算子.

注意到由于:

$$\mathcal{D}\subset \mathcal{S}\subset \mathcal{E}$$

因此有:

$${\mathcal{E}}^{\prime }\subset {\mathcal{S}}^{\prime }\subset {\mathcal{D}}^{\prime }$$

例2: 函数具有多项式增长速度是指,存在$C>0,M>0$使得:

$$|f(x)|\le C(1+|x{|}^2{)}^M,\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^n$$

显然这样的函数是一个缓增分布.因为:

$$|⟨f,\varphi ⟩|=|\int f\cdot \varphi |\le sup(1+|x|{)}^m|f(x)|\cdot \int (1+|x|{)}^{k-m}\mathrm{d}x$$

我们可以取$m$充分大使得$(1+|x|{)}^{k-m}$是可积即可.

进一步$f$的微分也是缓增分布.

事实上,对于缓增分布有如下的结构定理:

定理3: 每个缓增分布都是某个具有多项式增长速度的有限阶导数(这里的导数是指分布的导数).

该定理的证明我们暂时省略.

6.2.${\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$上的傅里叶变换

之前我们得到了$1\le p\le 2$时的,$L^p$上的傅里叶变换.现在我们要将其推广到更一般的$L^p$空间上,比较好的方法就是采用对偶的方式定义.这里我们采用在更大的空间${\mathcal{S}}^{\prime }$上定义傅里叶变换.首先我们先做一个简单的说明:

$$L^p({\mathbb{R}}^n)\subset {\mathcal{S}}^{\prime }$$

首先考虑$1\le p<\mathrm{\infty }$.此时设$u\in L^p$,那么:

$$|u(\varphi )|\le ||u|{|}_p\cdot ||\varphi |{|}_q$$

注意到我们可以取充分大的$N$使得$(1+|x|{)}^{-N}$在$L^q$中可积,此时:

$$||\varphi |{|}_q\le ||(1+|x|{)}^{-N}|{|}_q\cdot sup|(1+|x|{)}^N\varphi (x)|$$

因此我们就可以得到:

$$|u(\varphi )|\le csup|(1+|x|{)}^N\varphi (x)|$$

故$L^p({\mathbb{R}}^n)\subset {\mathcal{S}}^{\prime }$.

故我们在$\mathcal{S}$上定义傅里叶变换自然就可以得到$L^p$上的傅里叶变换了.

定义4: 设$u\in {\mathcal{S}}^{\prime }$,定义其傅里叶变换$\hat{u}\in {\mathcal{S}}^{\prime }$为:

$$⟨\hat{u},\varphi ⟩=⟨u,\hat{\varphi }⟩$$

其逆变换为:

$$⟨\check{u},\varphi ⟩=⟨u,\check{\varphi }⟩$$

经过简单的计算就可以发现,$\hat{u}$确实是${\mathcal{S}}^{\prime }$中的一个元素,并且当$u\in L^1$时,其傅里叶变换和我们定义的:

$$\hat{u}=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\int u(x)e^{-ix\xi }\mathrm{d}x$$

是一致的,因此我们的定义是合理的.

例5:
计算$\delta$函数的傅里叶变换.

直接计算就有:

$$⟨\hat{\delta },\varphi ⟩=⟨\delta ,\hat{\varphi }⟩=\hat{\varphi }(0)=⟨1,\varphi ⟩$$

现在计算$\widehat{{\partial }^{\alpha }\delta }$,于是有:

$$\begin{array}{rl}⟨{\left({\partial }^{\alpha }{\delta }_0\right)}^{\wedge },f⟩& =⟨{\partial }^{\alpha }{\delta }_0,\hat{f}⟩\\ & =(-1{)}^{|\alpha |}⟨{\delta }_0,{\partial }^{\alpha }\hat{f}⟩\\ & =(-1{)}^{|\alpha |}⟨{\delta }_0,{((-ix{)}^{\alpha }f(x))}^{\uparrow }⟩\\ & =(-1{)}^{|\alpha |}((-ix{)}^{\alpha }f(x))\uparrow (0)\\ & =(-1{)}^{|\alpha |}{\int }_{{\mathbf{R}}^n}(-x{)}^{\alpha }f(x)dx\\ & ={\int }_{{\mathbf{R}}^n}(ix{)}^{\alpha }f(x)dx=⟨(ix{)}^{\alpha },f(x)⟩.\end{array}$$

有一些常见的缓降分布,他们是速降函数空间傅里叶变换上的推广,分别是平移算子,伸缩算子,反射算子,分别定义为:

$$\begin{array}{rl}⟨{\tau }_t(u),f⟩& =⟨u,{\tau }_{-t}(f)⟩,\\ ⟨{\delta }_a(u),f⟩& =⟨u,a^{-n}{\delta }_{1/a}(f)⟩,\\ ⟨\tilde{u},f⟩& =⟨u,\tilde{f}⟩,\end{array}$$

现在我们要将$\mathcal{S}$上傅里叶变换的性质推广到${\mathcal{S}}^{\prime }$上.首先有这些性质(注意到这里的$D_i=-i{\partial }_i$):

$$\begin{array}{rl}& {\left(D^{\alpha }u\right)}^{\wedge }={\xi }^{\alpha }\hat{u}\\ & {\left(x^{\alpha }u\right)}^{\wedge }=(-1{)}^{|\alpha |}{D}^{\alpha }\hat{u},\\ & {\left({\tau }_{h}u\right)}^{\wedge }(\xi )=\hat{u}(\xi ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\xi \cdot h},h\in {\mathbb{R}}^n\\ & {\left(u{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\cdot h}\right)}^{\wedge }={\tau }_h\hat{u},h\in {\mathbb{R}}^n.\end{array}$$

定理6: 傅里叶变换$\mathcal{F}:{\mathcal{S}}^{\prime }\to {\mathcal{S}}^{\prime }$是线性同构.并且$\mathcal{F}$和${\mathcal{F}}^{-1}$都是(序列)连续的.

证明: 我们只用说明：

$${\mathcal{F}}^{-1}(\mathcal{F}u)=u,\mathcal{F}({\mathcal{F}}^{-1}u)=u$$

即可.根据定义验证即可.

6.3.${\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$的傅里叶变换

由于${\mathcal{E}}^{\prime }\subset {\mathcal{S}}^{\prime }$,因此对具有紧支集的分布我们同样可以定义其傅里叶变换,关于其傅里叶变换我们有如下定理:

定理7: 若$u\in {\mathcal{E}}^{\prime }$,则：

$$\hat{u}=⟨u_x,e^{-ix\xi }⟩$$

并且$\hat{u}$是$C^{\mathrm{\infty }}$的.

证明: 关于$⟨u_x,e^{-ix\xi }⟩$是$C^{\mathrm{\infty }}$我们在前边关于分布的论述中已经证明过了.现在我们证明$\hat{u}$确实有这种形式.去任意的$\varphi \in \mathcal{D}$,则我们有:

$$\begin{array}{rl}⟨u_x\otimes \varphi (\xi ),{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\cdot \xi }⟩& =⟨u_x,\int \varphi (\xi ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\cdot \xi }\mathrm{d}\xi ⟩=⟨u,\hat{\varphi }⟩=⟨\hat{u},\varphi ⟩\\ & =\int ⟨u_x,{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\cdot \xi }⟩\varphi (\xi )\mathrm{d}\xi \\ & =⟨⟨u_x,e^{-ix\xi }⟩,\varphi (\xi )⟩\end{array}$$

故我们得到了:对任意的$\varphi \in \mathcal{D}$,我们都有:

$$⟨\hat{u},\varphi ⟩=⟨u_x,e^{-ix\xi }⟩$$

故定理的证明.

现在利用定理7我们可以证明卷积傅里叶变换在${\mathcal{E}}^{\prime }$中的推广.

定理8: 如果$u,v\in {\mathcal{E}}^{\prime }$,则:

$$(u\ast v{)}^{\wedge }=\hat{u}\cdot \hat{v}$$

证明: 根据定理7我们知道:

$$(u\ast v{)}^{\wedge }=(u\ast v,e^{ix\cdot \xi })=⟨u_x\otimes v_y,e^{-i(x+y)\xi }⟩=⟨u_x,e^{-ix\xi }⟩\cdot ⟨v_y,e^{-iy\xi }⟩=\hat{u}\cdot \hat{v}$$

因此定理得证.