3线性部分:古典解-Schauder理论(严格椭圆算子的Schauder估计)

严格椭圆算子的Schauder内估计

目录

• 严格椭圆算子的Schauder内估计
  • 1.齐次方程的内估计
  • 2.Schauder内估计
    • 2.1:预备知识
    • 2.2:Schauder内估计
    • 2.3:推论

1.齐次方程的内估计

本节我们研究一般线性算子的内估计:

$$Lu=a^{ij}(x)D_{ij}u+b^i(x)D_{i}u+c(x)u=f(x),a^{ij}=a^{ji}$$

本节中我们始终要求算子$L$是严格椭圆的,即存在$\lambda >0$使得:

$$a^{ij}(x){\xi }_i{\xi }_j\ge \lambda |\xi {|}^2,\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega },\xi \in {\mathbb{R}}^n$$

在研究一般的方程之前,我们先解决齐次方程的内估计:

$$L_{0}u=A^{ij}{D}_{ij}u=f(x),A^{ij}=A^{ji}$$

其中$[A^{ij}]$是常数矩阵且满足严格椭圆条件(其实满足一致椭圆条件.)我们先建立如下的引理:

引理1:齐次方程的内估计:设$u\in C^2(\mathrm{\Omega }),f\in C^{\alpha }(\mathrm{\Omega })$在${\mathbb{R}}^n$中的开集满足$L_{0}u=f$,则:

$$|u{|}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)})$$

(2):设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}_{+}^n$中的开子集,并且$x_n=0$上有边界部分,设$u\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\mathrm{\Omega }\cup T)$,$f\in C^{\alpha }(\mathrm{\Omega }\cup T)$,且在$\mathrm{\Omega }$上满足$L_{0}u=f$,在$T$上有$u=0$,则:

$$|u{|}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }\cup T}^{\ast }⩽C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }\cup T}^{(2)}),$$

其中$C=C(n,\lambda ,\mathrm{\Lambda },\alpha )$.

证明: 由于$A^{ij}$是正定矩阵,因此存在存在正交矩阵$P$使得:

$$P^{\prime }AP=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n\}$$

令$D=\{1/\sqrt{{\lambda }_1},\cdots ,1/\sqrt{{\lambda }_n}\}$,作变换:$z=xPD$,则我们有:

$$L_{0}u=f⟺{\mathrm{\Delta }}_{z}u=\tilde{f}(z)$$

同时注意到由于$P$是正交矩阵,因此:$|Px|=|x|$所以:

$${\mathrm{\Lambda }}^{-\frac{1}{2}}|x|⩽|x\mathbf{Q}|⩽{\lambda }^{-\frac{1}{2}}|x|.$$

因此我们有:$u(x)\to \tilde{u}(z),\mathrm{\Omega }\to \tilde{\mathrm{\Omega }}$.

$$\begin{array}{rl}& c^{-1}|v{|}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽|\tilde{v}{|}_{k,\alpha ;\tilde{\mathrm{\Omega }}}^{\ast }⩽c|v{|}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast },k=0,1,2,\dots ,0⩽\alpha ⩽1,\\ & c^{-1}|v{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(k)}⩽|\tilde{v}{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(k)}⩽c|v{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(k)},\end{array}$$

其中$c=c(k,n,\lambda ,\mathrm{\Lambda })$.因此利用Poisson方程的内估计我们得到:

$$|\tilde{u}{|}_{2,\alpha ;\tilde{\mathrm{\Omega }}}^{\ast }⩽C(|u{|}_{0;\tilde{\mathrm{\Omega }}}+|f{|}_{0,\alpha ;\tilde{\mathrm{\Omega }}}^{(2)})$$

故:

$$\begin{array}{rl}|u{|}_{2,a;\mathrm{\Omega }}^{\ast }& ⩽C\mid {\tilde{u}}_{2,\alpha ;\tilde{\mathrm{\Omega }}}^{\ast }⩽C(|\tilde{u}{|}_{0;\tilde{\mathrm{\Omega }}}+|\tilde{f}{|}_{0,\alpha ;\tilde{\mathrm{\Omega }}}^{(2)})\\ & ⩽C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}).\end{array}$$

2.Schauder内估计

2.1:预备知识

为了后边的叙述方便,我们这里引入Holder空间的内插定理(不加证明).

内插定理
设$u\in C^{2,\alpha }(\mathrm{\Omega })$,其中$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$的开子集,则对任一给定的$\epsilon >0$,存在$C=C(\epsilon )$使得:

$$\begin{array}{rl}& [u{]}_{j,\beta ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽C|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+\epsilon [u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast },\\ & \\ & |u{|}_{j,\beta ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽C|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+\epsilon [u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast },\end{array}$$

其中$j=0,1,2;0⩽\alpha ,\beta ⩽1,j+\beta <2+\alpha$

当$\mathrm{\Omega }$是有界集时,我们也可以将拟范数$[\cdot {]}^{\ast }$换为$[\cdot ]$.为了得到更强的结论,我们定义:

$$\begin{array}{rl}& [f{]}_{k,0;\mathrm{\Omega }}^{(\sigma )}=[f{]}_{k;\mathrm{\Omega }}^{(\sigma )}=\underset{\begin{array}{c}x\in \mathrm{\Omega }\\ |\beta |=k\end{array}}{sup}{d}_x^{k+\sigma }|D^{\beta }f(x)|;\\ & [f{]}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(\sigma )}=\underset{\begin{array}{c}x,y\in \mathrm{\Omega }\\ \text{ |. }\\ |\beta |=k\end{array}}{sup}{d}_{x,y}^{k+\alpha +\sigma }\frac{|D^{\beta }f(x)-D^{\beta }f(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }},0<\alpha ⩽1\text{; }\\ & |f{|}_{k;\mathrm{\Omega }}^{(\sigma )}=\sum _{j=0}^k[f{]}_{j;\mathrm{\Omega }}^{(\sigma )}\\ & |f{|}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(\sigma )}=|f{|}_{k;\mathrm{\Omega }}^{(\sigma )}+[f{]}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(\sigma )}.\\ & \end{array}$$

注意到:

$$\boxed{{\displaystyle |fg{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(\sigma +\tau )}⩽|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(\sigma )}|g{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(\tau )}.}}$$

2.2:Schauder内估计

Schauder内估计设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$中的开子集,$u\in C^{2,\alpha }$是方程$Lu=f$的有界解,并且$[a^{ij}]$是严格椭圆的,假设存在$\mathrm{\Lambda }$使得:

$${\left|a^{ij}\right|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(0)},{\left|b^i\right|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(1)},|c{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}⩽\mathrm{\Lambda }.$$

则我们有:

$$|u{|}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}),$$

其中$C=C(n,\lambda ,\mathrm{\Lambda },\alpha )$.

证明: 1.首先我们证明只需要在$\mathrm{\Omega }$的任何紧子集上证明即可.设$\mathrm{\Omega }=\bigcup _i{\mathrm{\Omega }}_i$其中${\mathrm{\Omega }}_i\subset {\mathrm{\Omega }}_{i+1}$是$\mathrm{\Omega }$的紧子集.对任意的$x,y\in \mathrm{\Omega }$,必然存在$i$使得$x,y\in {\mathrm{\Omega }}_i$,此时定义任何一个二阶导数我们都:

$$\begin{array}{rl}{\left(d_{x,y}^{(i)}\right)}^{2+\alpha }\frac{|D^{2}u(x)-D^{2}u(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}& ⩽[u{]}_{2,\alpha ;{\mathrm{\Omega }}_i}^{\ast }\\ & ⩽C(|u{|}_{0;{\mathrm{\Omega }}_i}+|f{|}_{0,\alpha ;{\mathrm{\Omega }}_i}^{(2)})\text{如果结论成立}\\ & ⩽C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}),\end{array}$$

其中$d_{x,y}^{(i)}=min\{\mathrm{dist}(x.\partial {\mathrm{\Omega }}_i),\mathrm{dist}(y,\partial {\mathrm{\Omega }}_i)\}$.令$i\to \mathrm{\infty }$,就得到了:

$${\left(d_{x,y}\right)}^{2+\alpha }\frac{|D^{2}u(x)-D^{2}u(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}$$

他们右者同一个无关$i$的上界.

2.下边我们就来证明$[u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }$是有界的.设$x_0\ne y_0,d_{x_0}=d_{x_0,y_0}=min\{d_{x_0},d_{y_0}\}$,设$\mu \le \frac{1}{2}$(\emph{待定}.)令$d=\mu d_{x_0}$,$B=B_d(x_0)$,下边我们冻结主部系数,将$Lu=f$改写为:

$$\begin{array}{rl}{a}^{ij}\left(x_0\right)D_{ij}u& =(a^{ij}\left(x_0\right)-a^{ij}(x))D_{ij}u-b^i{D}_{i}u-cu+f\\ & \equiv F(x),\end{array}$$

在$B$中这里注意到我们在$B$中利用估计.,利用齐次方程的内估计,如果$y\in B_{d/2}(x_0)$,则我们有:

$${\left(\frac{d}{2}\right)}^{2+\alpha }\frac{|D^{2}u\left(x_0\right)-D^{2}u\left(y_0\right)|}{{|x_0-y_0|}^{\alpha }}\le d_{x,y}^{2+\alpha }\frac{|D^{2}u\left(x_0\right)-D^{2}u\left(y_0\right)|}{{|x_0-y_0|}^{\alpha }}⩽C(|u{|}_{0;B}+|F{|}_{0,\alpha ;B}^{(2)})$$

因此我们可以得到:

$$d_{x_0}^{2+\alpha }\frac{|D^{2}u\left(x_0\right)-D^{2}u\left(y_0\right)|}{{|x_0-y_0|}^{\alpha }}⩽\frac{C}{{\mu }^{2+\alpha }}(|u{|}_{0;B}+|F{|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}).$$

而如果$|x-y|\ge d/2$,则我们有:

$$d_{x_0}^{2+\alpha }\frac{|D^{2}u\left(x_0\right)-D^{2}u\left(y_0\right)|}{{|x_0-y_0|}^{\alpha }}⩽{\left(\frac{2}{\mu }\right)}^{\alpha }[d_{x_0}^2\left|D^{2}u\left(x_0\right)\right|+d_{y_0}^2\left|D^{2}u\left(y_0\right)\right|]⩽\frac{4}{{\mu }^{\alpha }}[u{]}_{2;\mathrm{\Omega }}^{\ast }.$$

综上我们就得到了,对最初定义的$x_0,y_0\in \mathrm{\Omega }$,我们有

$$d_{x_0}^{2+\alpha }\frac{|D^{2}u\left(x_0\right)-D^{2}u\left(y_0\right)|}{{|x_0-y_0|}^{\alpha }}\le \frac{C}{\mu +2}(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|F{|}_{0,\alpha ;B}^2)+\frac{4}{{\mu }^{\alpha }}[u{]}_{2;\mathrm{\Omega }}^{\ast }$$

3.下边我们估计$|F{|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}$

$$\begin{array}{r}|F{|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}⩽\sum _{i,j}{\left|(a^{ij}\left(x_0\right)-a^{ij}(x))D_{ij}u\right|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}+\sum _i{\left|b^i{D}_{i}u\right|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}+|cu{|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}+\mid f_{0,\alpha ;B}{\mid }^{(2)}.\end{array}$$

由于出现了$|\cdot {|}_{0,\alpha ;B}$而定理中要求的是$|\cdot {|}_{\cdot ,\mathrm{\Omega }}$为此我们需要研究这两者范数中间的关系.首先我们注意到如下关系对任意的$x\in B,$

$$d_x=\mathrm{dist}(x,\partial \mathrm{\Omega })>(1-\mu )d_{x_0}\ge \frac{1}{2}{d}_{x_0}$$

因此我们有:

$$\begin{array}{rl}|g{|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}& ⩽d^2|g{|}_{0;B}+d^{2+\alpha }[g{]}_{\alpha ;B}\\ & ⩽\frac{{\mu }^2}{(1-\mu {)}^2}[g{]}_{0;\mathrm{\Omega }}^{(2)}+\frac{{\mu }^{2+\alpha }}{(1-\mu {)}^{2+\alpha }}[g{]}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}\\ & ⩽4{\mu }^2[g{]}_{0;\mathrm{\Omega }}^{(2)}+8{\mu }^{2+\alpha }[g{]}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}⩽8{\mu }^2|g{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}.\end{array}$$

下边分别对:${\left|(a^{ij}\left(x_0\right)-a^{ij}(x))D_{ij}u\right|}_{0,\alpha ;B}^{(2)},{\left|b^i{D}_{i}u\right|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}+|cu{|}_{0,\alpha ;B}^{(2)},\mid f_{0,\alpha ;B}{\mid }^{(2)}$进行估计.首先我们有:
对每一对 $i,j$, 记 $(a\left(x_0\right)-a(x))D^{2}u=(a^{ij}\left(x_0\right)-a^{ij}(x))D_{ij}u$(注意到下边用到了$[D^{2}u{]}_{0;\mathrm{\Omega }}\le |u{|}_{2;\mathrm{\Omega }}^{\ast }$的事实.)

$$\begin{array}{rl}{\left|(a\left(x_0\right)-a(x))D^{2}u\right|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}& ⩽{|a\left(x_0\right)-a(x)|}_{0,\alpha ;B}^{(0)}{\left|D^{2}u\right|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}\\ & ⩽{|a\left(x_0\right)-a(x)|}_{0,\alpha ;B}^{(0)}(4{\mu }^2[u{]}_{2;\mathrm{\Omega }}^{\ast }+8{\mu }^{2+\alpha }[u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }).\end{array}$$

继续对$|a(x)-a(x_0){|}_{0,\alpha ;B}^{(0)}$进行估计:

$$\begin{array}{rl}{|a\left(x_0\right)-a(x)|}_{0,\alpha ;B}^{(0)}& ⩽\underset{x\in B}{sup}|a\left(x_0\right)-a(x)|+d^{\alpha }[a{]}_{\alpha ;B}\\ & ⩽2d^{\alpha }[a{]}_{\alpha ;B}⩽2^{1+\alpha }{\mu }^{\alpha }[a{]}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽4\mathrm{\Lambda }{\mu }^{\alpha },\end{array}$$

因此我们有:

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i,j}{\left|(a^{ij}\left(x_0\right)-a^{ij}(x))D_{ij}u\right|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}\\ ⩽& 32n^2\mathrm{\Lambda }{\mu }^{2+\alpha }([u{]}_{2;\mathrm{\Omega }}^{\ast }+{\mu }^{\alpha }[u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast })\\ ⩽& 32n^2\mathrm{\Lambda }{\mu }^{2+\alpha }(C(\mu )|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+2{\mu }^{\alpha }[u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }).\end{array}$$

最后一步我们用到了内插定理中的

$$\boxed{{\displaystyle [u{]}_{j,\beta ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽C|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+\epsilon [u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }}}$$

其中$j=2,\beta =0,\epsilon ={\mu }^{\alpha }$.

对每个$i$,记$b^i{D}_{i}u$(这里就不求和了)为$bDu$,因此我们有:

$$\begin{array}{rl}|bDu{|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}& ⩽8{\mu }^2|bDu{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^2⩽8{\mu }^2|b{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(1)}|Du{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(1)}\\ & ⩽8{\mu }^2\mathrm{\Lambda }|u{|}_{1,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽8{\mu }^2\mathrm{\Lambda }(C(\mu )|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+{\mu }^{2\alpha }[u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }).\end{array}$$

于是得到了:

$${\left|b^i{D}_{i}u\right|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}⩽8n\mathrm{\Lambda }{\mu }^2(C(\mu )|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+{\mu }^{2\alpha }[u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }).$$

其中用到了内插定理中的:

$$\boxed{{\displaystyle |u{|}_{j,\beta ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽C|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+\epsilon [u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }}}$$

其中$j=1,\beta =\alpha ,\epsilon ={\mu }^{2\alpha }$.
最后还有

$$\begin{array}{rl}|cu{|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}& ⩽8{\mu }^2|c{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}|u{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(0)}\\ & ⩽8\mathrm{\Lambda }{\mu }^2(C(\mu )|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+{\mu }^{2\alpha }[u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }).\end{array}$$

$$|f{|}_{0,\alpha ;B}^2⩽8{\mu }^2|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}.$$

将上边的所有式子结合起来就得到了:

$$|F{|}_{0,\alpha ;B}^{(2)}⩽C{\mu }^{2+2\alpha }[u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }+C(\mu )(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}).$$

并且在

$$\boxed{{\displaystyle [u{]}_{j,\beta ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽C|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+\epsilon [u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }}}$$

取$j=2,\beta =0,\epsilon ={\mu }^{2\alpha }$来估计$[u{]}_{2;\mathrm{\Omega }}^{\ast }$.就得到了

$$d_{x_0,y_0}^{2+\alpha }\frac{|D^{2}u\left(x_0\right)-D^{2}u\left(y_0\right)|}{{|x_0-y_0|}^{\alpha }}⩽C{\mu }^{\alpha }[u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }+C(\mu )(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}).$$

左边对$x_0,y_0$取上确界就得到了:

$$[u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽C{\mu }^{\alpha }[u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }+C(\mu )(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}).$$

取$C{\mu }^{\alpha }\le \frac{1}{2}$,就得到了:

$$[u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}).$$

再次利用:

$$\boxed{{\displaystyle |u{|}_{j,\beta ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽C|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+\epsilon [u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }}}$$

取$j=2,\beta =0$就得到了结论.
这个结果的好处就是我们可以允许$f$和系数是无界的,下边是更常用的Schauder估计.

2.3:推论

推论设 $u\in C^{2,\alpha }(\mathrm{\Omega }),f\in C^{\alpha }(\overline{\mathrm{\Omega }})$ 满足 $Lu=f$, 其中 $L$ 在有界区域 $\mathrm{\Omega }$ 中满足 $(6.2)$, 并且 $L$ 的系数在 $C^{\alpha }(\overline{\mathrm{\Omega }})$ 中. 那么如果 ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }\subset \subset \mathrm{\Omega },\mathrm{dist}({\mathrm{\Omega }}^{\prime },\partial \mathrm{\Omega })⩾d$, 就存在常数 $C$, 使得

$$\begin{array}{rl}& d|Du{|}_{0;{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}+d^2{\left|D^{2}u\right|}_{0;{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}+d^{2+\alpha }{\left[D^{2}u\right]}_{\alpha ;{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}\\ ⩽& C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}),\end{array}$$

其中 $C$ 仅依赖于椭圆性常数 $\lambda$ 和 $L$ 的系数的 $C^{\alpha }(\overline{\mathrm{\Omega }})$ 范数 (以及 $n,\alpha$ 和 $\mathrm{\Omega }$ 的 直径).或者是:

$$|u{|}_{2,\alpha ;{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}\le C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }})$$

这里的$C=C(n,\lambda ,\mathrm{\Lambda },\alpha ,{\mathrm{\Omega }}^{\prime },\mathrm{\Omega })$.