2.线性部分:古典解-Schauder理论(Poisson方程的内估计)

古典解:Schauder理论

目录

• 古典解:Schauder理论
  • Poisson方程和Newton位势
    • 1:一些记号
    • 2.Poisson方程的内估计1
    • 3:Poisson方程的内估计2

Poisson方程和Newton位势

1:一些记号

回顾我们在调和方程中得到的一些结果.

基本解：

$$\mathrm{\Gamma }(x-y)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{n(2-n){\omega }_n}}{\displaystyle \frac{1}{|x-y{|}^{n-2}}},& n\ge 3\\ {\displaystyle \frac{1}{2\pi }}\ln |x-y|,& n=2\end{array}$$

对于区域$\mathrm{\Omega }$,以及$f\in L(\mathrm{\Omega })$,我们称:
$$\begin{array}{}\text{(1)}& w(x):={\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\Gamma }(x-y)f(y)dy\end{array}$$
为函数$f$的Newton位势.

---

设$x_0$是区域$D$中一点,$0<\alpha <1$,称$f$在$x_0$处具有指数为$\alpha$的Holder连续性,如果:

$$[f{]}_{\alpha ;x_0}:=\underset{D}{sup}\frac{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0{|}^{\alpha }}$$

是有限的,称$f_{\alpha ;x_0}$是$f$关于$D$在$x_0$处的$\alpha$解Holder系数.

如果

$$\begin{array}{}\text{(2)}& [f{]}_{\alpha ,D}:=\underset{x,y\in D,x\ne y}{sup}\frac{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0{|}^{\alpha }}\end{array}$$

是有限的,则称$f$在$D$中具有指数为$\alpha$的Holder连续性.(下称$\alpha$阶Holder连续性).

如果(eq:3)只是在$D$的任意一个紧子集上有限的,则称$f$在$D$中$\alpha$阶局部的Holder连续性.

下边回顾一下连续函数空间以及Holder连续函数空间的一些范数.

对$C^k(\overline{\mathrm{\Omega }})$函数空间,我们可以定义其拟范数为:

$$[u{]}_{k;\mathrm{\Omega }}:=|D^{k}u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}=\underset{|\beta |=k}{sup}\underset{\mathrm{\Omega }}{sup}|D^{\beta }u|$$

以及范数:

$$||u|{|}_{C^k(\overline{\mathrm{\Omega }})}：=|u{|}_{k;\mathrm{\Omega }}=\sum _{j=0}^k[u{]}_{j;\mathrm{\Omega }}$$

对于$C^{k,\alpha }(\overline{\mathrm{\Omega }})$函数空间,我们定义其拟范数为:

$$[u{]}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}:=[D^{k}u{]}_{\alpha ;\mathrm{\Omega }}=\underset{|\beta |=k}{sup}[D^{\beta u}{]}_{\alpha ;\mathrm{\Omega }}$$

以及范数:

$$||u|{|}_{C^{k,\alpha }(\overline{\mathrm{\Omega }})}:=|u{|}_{k;\mathrm{\Omega }}+[u{]}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}$$

当空间$\mathrm{\Omega }$是有界集时我们记$d=\mathrm{diam}\mathrm{\Omega }$,此时我们还有与$||\cdot ||$等价的范数$||\cdot |{|}^{\prime }$.定义为:

$$\Vert u{\Vert }_{C^k(\overline{\mathrm{\Omega }})}^{\prime }=|u{|}_{k;\mathrm{\Omega }}^{\prime }=\sum _{j=0}^k{d}^j[u{]}_{j,0;\mathrm{\Omega }}=\sum _{j=0}^k{d}^j{\left|D^{j}u\right|}_{0;\mathrm{\Omega }};$$

和:

$$\begin{array}{rl}\Vert u{\Vert }_{C^{k,\alpha }(\overline{\mathrm{\Omega }})}^{\prime }& =|u{|}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\prime }=|u{|}_{k;\mathrm{\Omega }}^{\prime }+d^{k+\alpha }[u{]}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}\\ & =|u{|}_{k;\mathrm{\Omega }}^{\prime }+d^{k+\alpha }{\left[D^{k}u\right]}_{\alpha ;\mathrm{\Omega }}\end{array}$$

2.Poisson方程的内估计1

下边的一个引理是我们在调和方程已经学习过的：

引理1.设$f$在$\mathrm{\Omega }$中是有界可积的,$w$是$f$的Newton位势,则$w\in C^1({\mathbb{R}}^n)$,且对任意的$x\in \mathrm{\Omega }$,我们有:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& D_{i}w(x)={\int }_{\mathrm{\Omega }}{D}_i\mathrm{\Gamma }(x-y)f(y)dy\end{array}$$

下边的一个引理虽然我们在调和方程中没有学习,但是也不难证明,因此这里我们暂且省略.

引理2:设$f$在$\mathrm{\Omega }$中有界且局部Holder连续(以后我们默认指数为$\alpha ,$这里$\alpha \le 1$.),又设$w$是$f$的Newton位势,则$w\in C^2(\mathrm{\Omega })$,并且在$\mathrm{\Omega }$中$\mathrm{\Delta }w=f$.对任意的$x\in \mathrm{\Omega }$,有:
$$\begin{array}{}\text{(4)}& D_{ij}w(x)={\int }_{{\mathrm{\Omega }}_0}{D}_{ij}\mathrm{\Gamma }(x-y)(f(y)-f(x))dy-f(x){\int }_{\partial {\mathrm{\Omega }}_0}{D}_i\mathrm{\Gamma }(x-y){\nu }_i(y)d{S}_y\end{array}$$
其中${\mathrm{\Omega }}_0$是任何一个包含$\mathrm{\Omega }$的区域,在${\mathrm{\Omega }}_0$上散度定理成立.

下边我们给出关于$w$的二阶导数Holder估计.

定理3: 设$x_0\in {\mathbb{R}}^n$,记$B_1=B_R(x_0),B_2=B_{2R}(x_0)$.假设$f\in C^{\alpha }(\overline{\mathrm{\Omega }})$(以后我们都记$C^{0,\alpha }$为$C^{\alpha }$.如果$w$是$f$在$B_2$的Newton位势,则$w\in C^{2,\alpha }({\overline{B}}_1))$, 并 且 (注意到这里虽然用到$||\cdot |{|}^{\prime }$但是由于$B_2$是有界的,因此我们很容易导出对于的$||\cdot ||$的估计.)

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\left|D^{2}w\right|}_{0,\alpha ;B_1}^{\prime }⩽C|f{|}_{0,\alpha ;B_2}^{\prime }\end{array}$$

即:

$${\left|D^{2}w\right|}_{0;B_1}+R^{\alpha }{\left[D^{2}w\right]}_{\alpha ;B_1}⩽C(|f{|}_{0;B_2}+R^{\alpha }[f{]}_{\alpha ;B_2})$$

证明: 证明的关键:对任意的$x,\overline{x}\in B_1$,估计:

$$\frac{D_{ij}w(x)-D_{ij}w(\overline{x})}{|x-\overline{x}{|}^{\alpha }}$$

再次首先我们注意到:

$$D_{i}w(x)=\frac{1}{n{\omega }_n}\cdot \frac{1}{|x-y{|}^{n-1}},D_{ij}w(x)=\frac{(x_i-y_i)(x_j-y_j)}{w_n|x-y{|}^n},i\ne j$$

当$i\ne j$时和$D_{ij}w(x)$也是同样的阶数,因此利用(4)我们可以得到:

$$\begin{array}{rl}{D}_{ij}w(x)=& {\int }_{B_2}{D}_{ij}\mathrm{\Gamma }(x-y)(f(y)-f(x))dy-f(x){\int }_{\partial B_2}{D}_i\mathrm{\Gamma }(x-y){\nu }_i(y)d{S}_y\\ \le & \frac{|f(x)|}{n{\omega }_n}{R}^{1-n}{\int }_{\partial B_2}d{S}_y+\frac{[f{]}_{\alpha ;x}}{{\omega }_n}{\int }_{B_2}|x-y{|}^{\alpha -n}dy\\ \le & C_1(n,\alpha )(|f(x)+R^{\alpha }[f{]}_{\alpha ;x})\end{array}$$

现在我们计算$D_{ij}w(x)-D_{ij}w(\overline{x})$.其中主要分为两部分:

第一部分:

$$f(\overline{x}){\int }_{\partial B_2}{D}_i\mathrm{\Gamma }(\overline{x}-y){\nu }_i(y)d{S}_y-f(x){\int }_{\partial B_2}{D}_i\mathrm{\Gamma }(\overline{x}-y){\nu }_i(y)d{S}_y=f(x)I_1+(f(x)-f(\overline{x}))I_2$$

其中$I_1,I_2$分别为:

$$\begin{array}{rl}& I_1={\int }_{\partial B_2}(D_i\mathrm{\Gamma }(x-y)-D_i\mathrm{\Gamma }(\overline{x}-y)){\nu }_j(y)d{S}_y,\\ & I_2={\int }_{\partial B_2}{D}_i\mathrm{\Gamma }(\overline{x}-y){\nu }_j(y)d{S}_y,\end{array}$$

现在我们分别对$I_1,I_2$进行估计.对$I_1$

$$\begin{array}{rl}\left|I_1\right|& ⩽|x-\overline{x}|{\int }_{\partial B_2}|D{D}_i\mathrm{\Gamma }(\hat{x}-y)|d{S}_y\text{对}x\text{和}\overline{x}\text{之间的某点}\hat{x}\\ & ⩽\frac{C(n)|x-\overline{x}|}{R}\text{因为对}y\in \partial B_2\text{有 }|\hat{x}-y|⩾R\\ & ⩽\frac{C(n)|x-\overline{x}|}{R},\text{因为对}y\in \partial B_2\text{有}|\hat{x}-y|⩾R\\ & ⩽C(n,\alpha ){\left(\frac{\delta }{R}\right)}^{\alpha },\text{ 因为}\delta =|x-\overline{x}|<2R\end{array}$$

这里死活和[G-T]的估计差个常数,因此干脆用$C(n)$表示,不影响后续的估计.

对$I_2$直接有:

$$\left|I_2\right|⩽\frac{1}{n{\omega }_n}{R}^{1-n}{\int }_{\partial B_2}d{s}_y=2^{n-1}$$

现在对$D_{ij}w(x)-D_{ij}w(\overline{x})$,\textbf{第二部分}分析:

$${\int }_{B_2}{D}_{ij}\mathrm{\Gamma }(x-y)(f(y)-f(x))dy-{\int }_{B_2}{D}_{ij}\mathrm{\Gamma }(\overline{x}-y)(f(y)-f(\overline{x}))dy$$

我们先将$B_2$分为$B_{\delta }(\xi )+B_2-B_{\delta }(\xi )$,其中:$\delta =|x-\overline{x}|,\xi =\frac{1}{2}(x+\overline{x})$
.

因此第二部分就变成了:

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{B_{\delta }(\xi )}{D}_{ij}\mathrm{\Gamma }(x-y)(f(y)-f(x))dy-{\int }_{B_{\delta }(\xi )}{D}_{ij}\mathrm{\Gamma }(\overline{x}-y)(f(y)-f(\overline{x}))dy\\ +& {\int }_{B_2-B_{\delta }(\xi )}{D}_{ij}\mathrm{\Gamma }(x-y)(f(y)-f(x))dy-{\int }_{B_2-B_{\delta }(\xi )}{D}_{ij}\mathrm{\Gamma }(\overline{x}-y)(f(y)-f(\overline{x}))dy\\ =& I_3+I_4+(f(x)-f(\overline{x}))I_5+I_6\end{array}$$

通过简单的拆分,我们可以将前两项写为:

$$\begin{array}{rl}& I_3={\int }_{B_{\delta }(\xi )}{D}_{ij}\mathrm{\Gamma }(x-y)(f(x)-f(y))dy,\\ & I_4={\int }_{B_{\delta }(\xi )}{D}_{ij}\mathrm{\Gamma }(\overline{x}-y)(f(y)-f(\overline{x}))dy,\end{array}$$

后两项写为:

$$\begin{array}{rl}{I}_5& ={\int }_{B_2-B_{\delta }(\xi )}{D}_{ij}\mathrm{\Gamma }(x-y)dy\\ I_6& ={\int }_{B_2-B_{\delta }(\xi )}(D_{ij}\mathrm{\Gamma }(x-y)-D_{ij}\mathrm{\Gamma }(\overline{x}-y))(f(\overline{x})-f(y))dy.\end{array}$$

不同于$I_1,I_2$的曲面积分,这里的积分会出现瑕点,因此我们会采用将积分区域分开的方法.

对$I_3,I_4$的估计是相同的.

$$\left|I_3\right|⩽{\int }_{B_{\delta }(\xi )}|D_{ij}\mathrm{\Gamma }(x-y)||f(x)-f(y)|dy⩽\frac{1}{{\omega }^n}[f{]}_{\alpha ;x}{\int }_{B_{3\delta /2}(x)}|x-y{|}^{\alpha -n}dy=\frac{n}{\alpha }{\left(\frac{3\delta }{2}\right)}^{\alpha }[f{]}_{\alpha ;x}$$

对$I_5$进行估计,利用Gauss-Green公式我们就得到了:

$$\begin{array}{rl}\left|I_5\right|& =|{\int }_{\partial (B_2-B_{\delta }(\xi ))}{D}_i\mathrm{\Gamma }(x-y){\nu }_j(y)d{S}_y|\\ & ⩽|{\int }_{\partial B_2}{D}_i\mathrm{\Gamma }(x-y){\nu }_j(y)d{s}_y|+|{\int }_{\partial B_{\delta }(\xi )}{D}_i\mathrm{\Gamma }(x-y){\nu }_j(y)d{S}_y|\\ & ⩽2^{n-1}+\frac{1}{n{\omega }_n}{\left(\frac{\delta }{2}\right)}^{1-n}{\int }_{\partial B_{\delta }(\xi )}d{S}_y=2^n.\end{array}$$

对$I_6$进行估计:

$$\begin{array}{rl}\left|I_6\right|& ⩽|x-\overline{x}|{\int }_{B_2-B_{\delta }(\xi )}|D{D}_{ij}\mathrm{\Gamma }(\hat{x}-y)||f(\overline{x})-f(y)|dy\\ & ⩽c\delta {\int }_{|y-\xi |⩾\delta }\frac{|f(\overline{x})-f(y)|}{|\hat{x}-y{|}^{n+1}}dy,c=n(n+5)/{\omega }_n\\ & ⩽c\delta [f{]}_{\alpha ;\overline{x}}{\int }_{|y-\xi |⩾\delta }\frac{|\overline{x}-y{|}^{\alpha }}{|\hat{x}-y{|}^{n+1}}dy\\ & ⩽c{\left(\frac{3}{2}\right)}^{\alpha }{2}^{n+1}\delta [f{]}_{\alpha ;\overline{x}}{\int }_{|y-\xi |⩾\delta }|\xi -y{|}^{\alpha -n-1}dy\\ & ⩽\frac{c^{\prime }}{1-\alpha }{2}^{n+1}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{\alpha }{\delta }^{\alpha }[f{]}_{\alpha ;\overline{x}},c^{\prime }=n^2(n+5).\\ & \end{array}$$

注意到上个公式的倒数第三行用到了:

$$|\overline{x}-y|⩽\frac{3}{2}|\xi -y|⩽3|\hat{x}-y|,$$

综上所述:

$$|D_{ij}w(\overline{x})-D_{ij}w(x)|⩽C_2(R^{-\alpha }|f(x)|+[f{]}_{\alpha ;x}+[f{]}_{\alpha ;\overline{x}})|x-\overline{x}{|}^{\alpha }$$

因此我们就得到了结果(再次提醒,这里用到的是$||\cdot |{|}^{\prime }$范数.)

可以从上边的推导中看出,上述的估计中$C$只和$n,\alpha$有关,这是因为我们采用了$||\cdot |{|}^{\prime }$范数.

另外我们要指出的是虽然上述只出现了$[f{]}_{\alpha ;x}$或者是$[f{]}_{\alpha ;\overline{x}}$,但是由于Holder拟范数的定义,我们知道这个范数是在$B_2$内定义的,因此尽管$x,\overline{x}$都在$B_1$内,但是Holder拟范数还是用的$[f{]}_{\alpha ;B_2}$

定理4:设 $u\in C_0^2\left({\mathbb{R}}^n\right),f\in C_0^{\alpha }\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中满足 Poisson 方程 $\mathrm{\Delta }u=f$. 那么 $u\in C_0^{2,\alpha }\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 并且如果 $B=B_R\left(x_0\right)$ 是包含 $u$ 的支集的任一球, 我们就有

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}& {\left|D^{2}u\right|}_{0,\alpha ;B}^{\prime }⩽C|f{|}_{0,\alpha ;B}^{\prime },C=C(n,\alpha ),\\ & |u{|}_{1;B}^{\prime }⩽C{R}^2|f{|}_{0;B},C=C(n).\end{array}\end{array}$$

证明 :由于$f$具有紧支集,因此根据我们调和方程中学到的就知道:

$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\mathrm{\Gamma }(x-y)f(y)dy$$

利用引理2和定理3的证明,就可以得到上述估计.

证明: 如果$f$不具备紧支集,而是如下形式的Poisson方程:

$$\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Delta }u=f,& x\in \mathrm{\Omega }\\ u=g,& x\in \partial \mathrm{\Omega }\end{array}$$

则$w$不是上述方程的解(需要加一个Green函数有关的积分.)因此我们不能直接得到其内估计,为此我们将方程分为:

$$\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Delta }{u}_1=0,& x\in \mathrm{\Omega }\\ u_1=g,& x\in \partial \mathrm{\Omega }\end{array},\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Delta }{u}_2=f,& x\in \mathrm{\Omega }\\ u_2=0,& x\in \partial \mathrm{\Omega }\end{array}$$

其中一个调和,一个紧支集在$\mathrm{\Omega }$内.因此我们利用调和函数的内估计和Newton位势的内估计,就可以得到$u$的内估计.

定理5:设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$中的一个区域,$u\in C^2(\mathrm{\Omega }),f\in C^{\alpha }(\mathrm{\Omega })$在$\mathrm{\Omega }$中满足Poisson方程$\mathrm{\Delta }u=f$,则$u\in C^{2,\alpha }(\mathrm{\Omega })$,并且对球$B_1=B_R(x_0),B_2=B_{2R}(x_0)\subset \subset \mathrm{\Omega }$,我们有:

$$\begin{array}{}\text{(7)}& |u{|}_{2,\alpha ;B_1}^{\prime }⩽C(|u{|}_{0;B_2}+R^2|f{|}_{0,\alpha ;B_2}^{\prime }),\end{array}$$

其中$C=C(n,\alpha )$.

证明:按照如上所述,我们令:

$$\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Delta }w=0,& x\in \mathrm{\Omega }\\ w=u,& x\in \partial \mathrm{\Omega }\end{array},\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Delta }v=f,& x\in \mathrm{\Omega }\\ v=0,& x\in \partial \mathrm{\Omega }\end{array}$$

则$w=u+v$,因此我们有:

$$\begin{array}{rl}& R|Dw{|}_{0;B_1}+R^2{\left|D^{2}w\right|}_{0,\alpha ;B_1}^{\prime }⩽C{R}^2|f{|}_{0,\alpha ;B_2}^{\prime },\\ & R|Dv{|}_{0;B_1}+R^2{\left|D^{2}v\right|}_{0,\alpha ;B_1}^{\prime }⩽C|v{|}_{0;B_2}⩽C(|u{|}_{0;B_2}+R^2|f{|}_{0;B_2}).\end{array}$$

故得到最终的结论.其中调和函数的内估计为

$$\underset{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{sup}|D^{\alpha }u|\le {\left(\frac{n|\alpha |}{d}\right)}^{|\alpha |}\underset{\mathrm{\Omega }}{sup}u$$

其中${\mathrm{\Omega }}^{\prime }\subset \subset \mathrm{\Omega }$.}

定理6:设 $u\in C_0^2\left({\mathbb{R}}^n\right),f\in C_0^{\alpha }\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中满足 Poisson 方程 $\mathrm{\Delta }u=f$. 那么 $u\in C_0^{2,\alpha }\left({\mathbb{R}}^n\right)$, 并且如果 $B=B_R\left(x_0\right)$ 是包含 $u$ 的支集的任一球, 我们就有

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}& {\left|D^{2}u\right|}_{0,\alpha ;B}^{\prime }⩽C|f{|}_{0,\alpha ;B}^{\prime },C=C(n,\alpha ),\\ & |u{|}_{1;B}^{\prime }⩽C{R}^2|f{|}_{0;B},C=C(n).\end{array}}}$$

证明:由于$f$具有紧支集,因此根据我们调和方程中学到的就知道:

$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\mathrm{\Gamma }(x-y)f(y)dy$$

根据Poisson方程的内估计,我们就可得到上述定理.

如果$f$不具备紧支集,而是如下形式的Poisson方程:

$$\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Delta }u=f,& x\in \mathrm{\Omega }\\ u=g,& x\in \partial \mathrm{\Omega }\end{array}$$

则$w$不是上述方程的解(需要加一个Green函数有关的积分.)因此我们不能直接得到其内估计,为此我们将方程分为:

$$\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Delta }{u}_1=0,& x\in \mathrm{\Omega }\\ u_1=g,& x\in \partial \mathrm{\Omega }\end{array},\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Delta }{u}_2=f,& x\in \mathrm{\Omega }\\ u_2=0,& x\in \partial \mathrm{\Omega }\end{array}$$

其中一个调和,一个紧支集在$\mathrm{\Omega }$内.因此我们利用调和函数的内估计和Newton位势的内估计,就可以得到$u$的内估计.

定理7:设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$中的一个区域,$u\in C^2(\mathrm{\Omega }),f\in C^{\alpha }(\mathrm{\Omega })$在$\mathrm{\Omega }$中满足Poisson方程$\mathrm{\Delta }u=f$,则$u\in C^{2,\alpha }(\mathrm{\Omega })$,并且对球$B_1=B_R(x_0),B_2=B_{2R}(x_0)\subset \subset \mathrm{\Omega }$,我们有:

$$\boxed{{\displaystyle |u{|}_{2,\alpha ;B_1}^{\prime }⩽C(|u{|}_{0;B_2}+R^2|f{|}_{0,\alpha ;B_2}^{\prime }),\mathrm{eq}:9}}$$

其中$C=C(n,\alpha )$.

证明:按照如上所述,我们令:

$$\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Delta }w=0,& x\in \mathrm{\Omega }\\ w=u,& x\in \partial \mathrm{\Omega }\end{array},\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Delta }v=f,& x\in \mathrm{\Omega }\\ v=0,& x\in \partial \mathrm{\Omega }\end{array}$$

则$w=u+v$,因此我们有:

$$\begin{array}{rl}& R|Dw{|}_{0;B_1}+R^2{\left|D^{2}w\right|}_{0,\alpha ;B_1}^{\prime }⩽C{R}^2|f{|}_{0,\alpha ;B_2}^{\prime },\\ & R|Dv{|}_{0;B_1}+R^2{\left|D^{2}v\right|}_{0,\alpha ;B_1}^{\prime }⩽C|v{|}_{0;B_2}⩽C(|u{|}_{0;B_2}+R^2|f{|}_{0;B_2}).\end{array}$$

故得到最终的结论.其中调和函数的内估计为

$$\boxed{{\displaystyle \underset{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{sup}|D^{\alpha }u|\le {\left(\frac{n|\alpha |}{d}\right)}^{|\alpha |}\underset{\mathrm{\Omega }}{sup}u}}$$

其中${\mathrm{\Omega }}^{\prime }\subset \subset \mathrm{\Omega }$.

3:Poisson方程的内估计2

对于内估计,另外一种范数是内在范数.现在我们记$d_x=\mathrm{dist}(x,\partial \mathrm{\Omega })$以及$d_{x,y}=min\{d_x,d_y\}$.对$u\in C^k(\mathrm{\Omega })$和$U^{k,\alpha }(\mathrm{\Omega })$.定义如下的量:

$$\begin{array}{rl}& [u{]}_{k,0;\mathrm{\Omega }}^{\ast }=[u{]}_{k;\mathrm{\Omega }}^{\ast }=\underset{\begin{array}{c}x\in \mathrm{\Omega }\\ |\beta |=k\end{array}}{sup}{d}_x^k|D^{\beta }u(x)|,k=0,1,2,\dots ;\\ & |u{|}_{k;\mathrm{\Omega }}^{\ast }=|u{|}_{k,0;\mathrm{\Omega }}^{\ast }=\sum _{j=0}^k[u{]}_{j;\mathrm{\Omega }}^{\ast };\\ & [u{]}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }=\underset{\begin{array}{c}x,y\in \mathrm{\Omega }\\ |\beta |=k\end{array}}{sup}{d}_{x,y}^{k+\alpha }\frac{|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }},0<\alpha ⩽1;\\ & |u{|}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }=|u{|}_{k:\mathrm{\Omega }}^{\ast }+[u{]}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast };\end{array}$$

在$\mathrm{\Omega }$是有界的情况下,我们记$d=\mathrm{diam}\mathrm{\Omega }$.此时对于上述定义的内部范数我们有:

$$|u{|}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }\le max\{1,d^{k+\alpha }\}|u{|}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}$$

如果${\mathrm{\Omega }}^{\prime }\subset \subset \mathrm{\Omega }$,我们记$\sigma =\mathrm{dist}({\mathrm{\Omega }}^{\prime },\partial \mathrm{\Omega })$,则我们有:

$$min\{1,{\sigma }^{k+\alpha }\}|u{|}_{k,\alpha ;{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}^{\ast }\le |u{|}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }$$

并且这里引入:

$$|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(k)}=\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{sup}{d}_x^k|f(x)|+\underset{x,y\in \mathrm{\Omega }}{sup}{d}_{x,y}^{k+\alpha }\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}$$

现在我们用$|\cdot {|}^{\ast }$范数来得到内估计.

定理8：:设 $u\in C^2(\mathrm{\Omega }),f\in C^{\alpha }(\mathrm{\Omega })$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个有界开集 $\mathrm{\Omega }$ 中满足 $\mathrm{\Delta }u=f$. 则

$$\boxed{{\displaystyle |u{|}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}),}}$$

其中 $C=C(n,\alpha )$.

证明:如果$|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}$或者$|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}$是无界的,则显然.下设他们均有界.对$x\in \mathrm{\Omega }$,我们记$R=\frac{1}{3}{d}_x,B_1=B_R(x),B_2=B_{2R}(x)$,则对任何一个一阶导数和二阶导数我们都有:

$$\begin{array}{rl}{d}_x|Du(x)|+d_x^2|D^{2}u(x)|& ⩽(3R)|Du{|}_{0;B_1}+(3R{)}^2{\left|D^{2}u\right|}_{0;B_1}\\ & ⩽C(|u{|}_{0;B_2}+R^2|f{|}_{0,\alpha ;B_2}^{\prime })\\ & ⩽C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}).\end{array}$$

因此我们得到了:

$$\boxed{{\displaystyle |u{|}_{2;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}).\mathrm{eq}:10}}$$

现在估计$[u{]}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }$,不妨假设对$x,y\in \mathrm{\Omega },d_x\le d_y$.($d_{x,y}\le 3R$.)

Case1:如果$x,y\in B_1$,则:

$$\frac{|D^{2}u(x)-D^{2}u(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}\le [D^{2}u{]}_{\alpha ;B_1},$$

Caes2:如果$y\notin B_1$,则:

$$\frac{|D^{2}u(x)-D^{2}u(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}\le \frac{1}{R^2}(|D^{2}u(x)|+|D^{2}u(y)|)$$

综上所述:

$$\begin{array}{rl}& d_{x,y}^{2+\alpha }\frac{|D^{2}u(x)-D^{2}u(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}\\ ⩽& (3R{)}^{2+\alpha }{\left[D^{2}u\right]}_{\alpha ;B_1}+3^{\alpha }(3R{)}^2(|D^{2}u(x)|+|D^{2}u(y)|),\\ ⩽& C(|u{|}_{0;B_2}+R^2|f{|}_{0,\alpha ;B_2}^{\prime })+6[u{]}_{2;\mathrm{\Omega }}^{\ast }\text{由}\mathrm{eq}:1\\ ⩽& C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)})\text{由}\mathrm{eq}:2\end{array}$$

因此我们知道:

$$|u{|}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{\ast }⩽C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)})$$

推论9:设 $u\in C^{2,\alpha }(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\overline{\mathrm{\Omega }}),f\in C^{\alpha }(\mathrm{\Omega })$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个有界开集 $\mathrm{\Omega }$ 中满足 $\mathrm{\Delta }u=f$. 则对于任意的${\mathrm{\Omega }}^{\prime }\subset \subset \mathrm{\Omega }$,我们有

$$\boxed{{\displaystyle |u{|}_{2,\alpha ;{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}\le C(|u{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }})}}$$

这里的$C=C(n,\alpha ,\mathrm{\Omega })$.

由于我们在前面已经叙述了$|\cdot {|}^{\prime }$和$|\cdot |$以及$|\cdot {|}^{\ast }$的关系,因此这里可以直接推出.