2017年8月22日
MT【35】用复数得到的两组恒等式
摘要： 特别的，当$r\rightarrow1^{-}$时有以下两个恒等式：第二个恒等式有关的自主招生试题参考博文MT【31】傅里叶级数为背景的三角求和评:利用两种展开形式得到一些恒等式是复数里经常出现的考点. 阅读全文
posted @ 2017-08-22 19:13 M.T 阅读(535) 评论(0) 推荐(0) 编辑
MT【34】正余弦的正整数幂次快速表示成正余弦的线性组合
摘要： 问题:如何快速把$cos^4xsin^3x$表示成正弦，余弦的线性组合？ 分析:利用牛顿二项式展开以下表达式: 再利用欧拉公式$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$ 比如： 解答: 评:这样的变换,表示成线性组合在求积分的时候就显得很有用,大学自主招生迟早会考察以上变换 阅读全文
posted @ 2017-08-22 18:47 M.T 阅读(566) 评论(0) 推荐(0) 编辑
MT【33】证明琴生不等式
摘要： 解答：这里数学归纳法证明时指出关键的变形.评:撇开琴生不等式自身的应用和意义外，单单就这个证明也是一道非常不错的练习数学归纳法的经典题目。 阅读全文
posted @ 2017-08-22 16:55 M.T 阅读(1795) 评论(0) 推荐(0) 编辑
MT【32】内外圆(Apollonius Circle）的几何证明
摘要： 另一方面，如果 M 满足(1)式,那么M必然在以PQ为直径的圆上.事实上当M为P或者Q时，这是显然的。当M异于P,Q时，由$\frac{|MB|}{|MC|}=\frac{|PB|}{|PC|}=\lambda,\frac{|MB|}{|MC|}=\frac{|QB|}{|QC|}=\lambda$知MP,MQ分别是$\angle{BMC}$的内角平分线和外交平分线，故$\angle{PMQ}=9... 阅读全文
posted @ 2017-08-22 08:09 M.T 阅读(1179) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2017年8月21日
MT【31】傅里叶级数为背景的三角求和
摘要： 接下来要讲的这道题，背景有点复杂，不要求99%的学生看的懂背景，但是解答过程中涉及的反证法以及第二数学归纳法对自主招生的学生来说倒是不错的学习机会。解答：评 : 本题的背景为高等数学中的傅里叶分析（这里有一篇我认为是最接地气的介绍傅里叶的文章，没学过积分的会看不懂http://www.360doc.com/content/13/0328/12/202378_274443797.sht... 阅读全文
posted @ 2017-08-21 22:37 M.T 阅读(866) 评论(0) 推荐(0) 编辑
MT【30】椭圆的第二定义解题
摘要： 问题：上式表示的区域是怎样的？解答：利用椭圆第二定义易知当取等号时为椭圆，又令$y$趋向于$+\infty$时不等号不成立，故可以判断为椭圆内部区域。评:利用mathmatics软件容易得到 阅读全文
posted @ 2017-08-21 20:56 M.T 阅读(607) 评论(0) 推荐(0) 编辑
MT【29】介绍向量的外积及应用举例
摘要： 我们在学校教材里学到的数量积(内积)其实还有一个孪生兄弟向量积(外积),这个对参加自主招生以及竞赛的学生来讲是需要掌握的,这里稍作介绍:原理:例题：应用: 阅读全文
posted @ 2017-08-21 20:09 M.T 阅读(1027) 评论(0) 推荐(0) 编辑
MT【28】内心外衣下的等腰三角形个数
摘要： 解答:30评：这道题倒不是传统的与内心相关的向量题，传统的与内心或者内切圆有关的两个结论是aIA+bIB+cIC=0以及所谓的"人品公式"S=rp.这里主要是得到此三角形为以AC为底的等腰三角形，结合横坐标，由图像可知答案为6取2的排列数. 阅读全文
posted @ 2017-08-21 16:03 M.T 阅读(267) 评论(0) 推荐(0) 编辑
MT【27】对数方程组求范围
摘要： 解答：3评论：此类题目通性通法为换元后化归为线性规划问题。当然不等式凑配也是常见技巧，只是容易范围扩大或者缩小. 阅读全文
posted @ 2017-08-21 15:41 M.T 阅读(255) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2017年8月17日
MT【26】ln(1+x)的对数平均放缩
摘要： 评:1.某种程度上$ln(1+x)\ge \frac{2x}{2+x}$是最佳放缩. 2.这里涉及到分母为幂函数型的放缩技巧，但是不够强,做不了这题。 阅读全文
posted @ 2017-08-17 18:44 M.T 阅读(3055) 评论(0) 推荐(0) 编辑