2018 年 12月随笔档案 - M.T

MT【277】华中科技大学理科实验班选拔之三次方程

摘要：(2015华中科技大学理科实验班选拔) 已知三次方程

$x^3+ax^2+bx+x=0$ 有三个实数根. (1)若三个实根为

$x_1,x_2,x_3$ ,且

$x_1\le x_2\le x_3,a,b$ 为常数,求

$c$ 变化时

$x_3-x_1$ 的取值范围. (2)若三个实数根为

$a,b,c$ ,求

$a,b,c$ 阅读全文

posted @ 2018-12-28 08:51 M.T 阅读(531) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【276】正切的半角公式

摘要：若

$\Delta ABC$ 满足:

$\tan\dfrac{A}{2}\cdot\tan\dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{4}{3}a$ ,则

$\sin B=$ ______ 阅读全文

posted @ 2018-12-28 08:36 M.T 阅读(1851) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【275】拉格朗日中值定理

摘要：已知

$0{<}x_1{<}c{<}x_2{<}e^{\frac{3}{2}},$ 且

$\dfrac{1-ln(c)}{c^2} = \dfrac{x_1ln(x_2)-x_2ln(x_1)}{x_1x_2(x_2-x_1)}$ , 证明:

$c^2{<}x_1x_2$ 阅读全文

posted @ 2018-12-27 19:52 M.T 阅读(819) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【274】一道漂亮的不等式题

摘要：已知

$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_6^2=6,x_1+x_2+\cdots+x_6=0,$ 证明:

$x_1x_2\cdots x_6\le\dfrac{1}{2}$ 阅读全文

posted @ 2018-12-27 11:51 M.T 阅读(422) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【273】2014新课标压轴题之

$\ln2$ 的估计

摘要：已知函数

$f(x)=e^x-e^{-x}-2x$ (1)讨论

$f(x)$ 的单调性; (2)设

$g(x)=f(2x)-4bf(x),$ 当

$x>0$ 时,

$g(x)>0,$ 求

$b$ 的最大值; (3)已知

$1.4142<\sqrt{2}<1.4143$ ,估计

$\ln 2$ 的近似值(精确到0.001）. 阅读全文

posted @ 2018-12-24 16:05 M.T 阅读(1132) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【272】更大的视野，更好的思路.

摘要：已知

$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{2017}\dfrac{\cos kx}{\cos^k x},$ 则

$f(\dfrac{\pi}{2018})=$ _____ 阅读全文

posted @ 2018-12-24 12:58 M.T 阅读(342) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【271】一道三角最值问题

摘要：若不等式

$k\sin^2B+\sin A\sin C>19\sin B\sin C$ 对任意

$\Delta ABC$ 都成立,则

$k$ 的最小值为_____ 阅读全文

posted @ 2018-12-12 18:23 M.T 阅读(402) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【270】含参绝对值函数最大之二

摘要：已知

$f(x)=2ax\cos^2x+(a-1)\cos x-1,a>0$ ,记

$|f(x)|$ 的最大值为

$A$ , 1)求A. 2)证明:

$|-2a\sin 2x+(1-a)\sin x|\le 2A$ 阅读全文

posted @ 2018-12-12 16:37 M.T 阅读(376) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【269】含参函数绝对值最大

摘要：设函数

$f(x)=ax^2+(2b+1)x-a-2$ (

$a,b\in\mathcal R$ ，

$a\neq 0$ )． (1) 若

$a=-2$ ，求函数

$y=|f(x)|$ 在

$[0,1]$ 上的最大值

$M(b)$ ； (2) 若函数

$f(x)$ 在区间

$(0,1)$ 有两个不同的零点，求证：

$\dfrac{(2+a)(1-2b)}{a^2}<\dfrac{1}{16}$ ．阅读全文

posted @ 2018-12-12 16:16 M.T 阅读(566) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【268】投篮第一次很重要

摘要：已知

$r_1=0,r_{100}=0.85,(r_k$ 表示投 k 次投中的概率.) 求证:(1)是否存在

$n_0$ 使得

$r_{n_0}=0.5$ (2)是否存在

$n_1$ 使得

$r_{n_1}=0.8$ 阅读全文

posted @ 2018-12-12 15:04 M.T 阅读(328) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【267】第一次很重要

摘要：

$\begin{equation*} \textbf{已知}x_1,x_2<\pi,x_{n+1}=x_n+\left\{ \begin{aligned} sin x_n &,x_n>x_{n+1}\\ cos x_n&,x_n\le x_{n+1}\\ \end{aligned} \right. \end{equation*}$ 证明:

$x_n<\dfrac{3\pi}{2}$ 阅读全文

posted @ 2018-12-12 14:57 M.T 阅读(323) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【266】求

$a$ 的范围

摘要：已知

$a$ 为常数,函数

$f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{a-x^2}-\sqrt{1-x^2}}$ 的最小值为

$-\dfrac{2}{3}$ ,则

$a$ 的取值范围_____ 阅读全文

posted @ 2018-12-12 14:46 M.T 阅读(280) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【265】a+b,ab

摘要：已知

$a+b=1$ ,求

$(a^3+1)(b^3+1)$ 的最大值_____ 阅读全文

posted @ 2018-12-12 11:36 M.T 阅读(234) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【264】分式变形

摘要：已知

$x,y>0,\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=1$ ,求

$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{y+1}$ 的最大值____ 阅读全文

posted @ 2018-12-12 11:34 M.T 阅读(197) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【263】待定系数

摘要：已知

$a,b>0$ 且

$ab(a+b)=4$ ,求

$2a+b$ 的最小值_____ 阅读全文

posted @ 2018-12-12 11:20 M.T 阅读(264) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【262】一道常见错题

摘要：若

$f(x^2)$ 的定义域为

$[-1,1]$ ,则函数

$f(x)$ 的定义域为______ 阅读全文

posted @ 2018-12-12 10:56 M.T 阅读(261) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【261】左准线

摘要：设双曲线

$x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左右焦点为

$F_1,F_2$ , 直线

$l$ 过

$F_2$ 且与双曲线交于

$A,B$ 两点.若

$l$ 的斜率存在,且

$(\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B})\cdot\overrightarrow{AB}=0$ , 求

$l$ 的斜率_____ 阅读全文

posted @ 2018-12-11 15:11 M.T 阅读(442) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【260】单调函数

摘要：设

$f(x)$ 是定义在

$(0,+\infty)$ 上的单调函数,且对定义域内的任意实数

$x$ ,都有

$f(f(x)-\log_2 x)=3$ 求

$f(x)-f^{'}(x)=2$ 的解所在的区间._____ A.

$(0,\dfrac{1}{2})$ B.

$(\dfrac{1}{2},1)$ C.

$(1,2)$ D.

$(2,3)$ 阅读全文

posted @ 2018-12-11 14:55 M.T 阅读(407) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【259】2016天津压轴题之最佳逼近

摘要：(2016天津压轴题)设函数

$f(x)=(x-1)^3-ax-b,x\in R$ , 其中

$a,b\in R$ (1)求

$f(x)$ 的单调区间. (2)若

$f(x)$ 存在极值点

$x_0$ ,且

$f(x_1)=f(x_0),$ 其中

$x_1\ne x_0$ ,求证:

$x_1+2x_0=3$ ; (3)设

$a>0$ ,函数

$g(x)=|f(x)|,$ 求证:

$g(x)$ 在区间

$[0,2]$ 上的最大值不小于

$\dfrac{1}{4}$ 阅读全文

posted @ 2018-12-11 13:35 M.T 阅读(425) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【258】椭圆第三定义

摘要：如图,已知椭圆方程为

$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$

$A$ 为椭圆上一点,

$AF_1,AF_2$ 与椭圆交于

$B,C$ 两点,

$A_1B,A_2C$ 交于一点

$M$ .当

$A$ 在椭圆上运动时,求点

$M$ 的运动轨迹. 阅读全文

posted @ 2018-12-07 09:09 M.T 阅读(3176) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【257】任意存在并存

摘要：函数

$f(x)=\dfrac{4x}{x+1}(x>0),g(x)=\dfrac{1}{2}(|x-a|-|x-b|),(a{<}b)$ , 若对任意

$x_1>0$ ,存在

$x_2\le x_1$ ,使得

$g(x_2)=f(x_1)$ ,则

$2a+b$ 的最大值为____ 阅读全文

posted @ 2018-12-07 08:50 M.T 阅读(226) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【256】2016四川高考解答压轴题

摘要：(2016四川高考数学解答压轴题)设函数

$f(x)=ax^2-a-\ln x,a\in R$ . 1)讨论

$f(x)$ 的单调性; 2)确定

$a$ 的所有可能值,使得

$f(x)>\dfrac{1}{x}-e^{1-x}$ 在区间

$(1,+\infty)$ 内恒成立. 阅读全文

posted @ 2018-12-04 08:56 M.T 阅读(388) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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