09 2018 档案

MT【223】二次函数最大最小

摘要：若函数

$f(x)=ax^2+20x+14(a>0)$ 对任意实数

$t$ ,在闭区间

$[t-1,t+1]$ 上总存在两实数

$x_1,x_2$ ,使得

$|f(x_1)-f(x_2)|\ge8$ 成立,则实数

$a$ 的最小值为____ 阅读全文

posted @ 2018-09-28 19:27 M.T 阅读(458) 评论(0) 推荐(0)

MT【222】几道自招面试真题

摘要：（2014复旦大学）共有5顶帽子，三个黑的两个白的，三个人排成一排，并让这三个人每个人选择一顶戴上；每个人都看不到自己的帽子但能看到前面人的帽子；你是最前面的人，既看不到自己的帽子也看不到别人的帽子，但是你后面的两个人都猜不到他们自己的帽子的颜色，问:你戴的帽子什么颜色. 阅读全文

posted @ 2018-09-27 16:04 M.T 阅读(484) 评论(0) 推荐(0)

MT【221】几个常用的多元恒等式

摘要：(拉格朗日恒等式)

$\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a^2_i\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{b^2_i}\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{a_ib_i}\right)^2 =\sum\limits_{1\le {i}<{j}\le n}({a_i}{b_j}-{a_j}{b_i})^2$ 阅读全文

posted @ 2018-09-26 19:17 M.T 阅读(728) 评论(0) 推荐(0)

MT【220】三次方程必有实根

摘要：设

$f(x)=x^2+ax+b,g(x)=x^2+cx+d$ ，如果

$f(g(x))=g(f(x))$ 没有实根,求证:

$b\ne d$ 阅读全文

posted @ 2018-09-24 12:59 M.T 阅读(649) 评论(0) 推荐(0)

MT【219】构造二次函数

摘要：(2012北大保送)已知

$f(x)$ 是二次函数,且

$a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))$ 是正项等比数列;求证:

$f(a)=a$ 阅读全文

posted @ 2018-09-24 12:52 M.T 阅读(441) 评论(0) 推荐(0)

MT【218】交点个数

摘要：若函数

$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 有极值点

$x_1,x_2$ ,且

$f(x_1)=x_1$ ,则关于

$x$ 的方程

$3(f(x))^2+2af(x)+b=0$ 的不同实数根个数为_____ 阅读全文

posted @ 2018-09-24 12:07 M.T 阅读(205) 评论(0) 推荐(0)

MT【217】韦达定理应用

摘要：若2018次方程

$x^{2018}-4036x^{2017}+a_{2016}x^{2016}+\cdots+a_1x+a_0=0$ 有2018个正实数, 则对于所有可能的方程

$\sum\limits_{i=0}^{2016}|a_i|$ 的最大值为_____ 阅读全文

posted @ 2018-09-21 16:18 M.T 阅读(400) 评论(0) 推荐(0)

MT【216】韦达定理

摘要：设

$n$ 为正整数,

$a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n;A,B$ 都是正数, 满足

$a_i\le b_i,a_i\le A,i=1,2,\cdots,n$ 且

$\prod\limits_{i=1}^n{\dfrac{b_i}{a_i}}\le\dfrac{B}{A}$ . 证明:

$\prod\limits_{i=1}^n{\dfrac{b_i+1}{a_i+1}}\le\dfrac{B+1}{A+1}$ (2018全国联赛加试题第一题) 阅读全文

posted @ 2018-09-20 19:58 M.T 阅读(820) 评论(0) 推荐(0)

MT【215】集合中元素个数

摘要：设

$M=\{1,2,3\cdots,2010\}$ ,

$A$ 是

$M$ 的子集且满足条件:当

$x\in A$ 时

$15x\notin A$ ,则

$A$ 中的元素的个数最多是______ 阅读全文

posted @ 2018-09-17 08:43 M.T 阅读(399) 评论(0) 推荐(0)

MT【214】焦点弦长公式

摘要：已知椭圆焦点为

$F_1(-1,0),F_2(1,0)$ ,且椭圆与直线

$y=x-\sqrt{3}$ 相切,求 (1)椭圆的方程 (2)过

$F_1$ 作两条相互垂直的直线

$l_1,l_2$ 与椭圆相交于

$P,Q,M,N$ ,求四边形

$PNQM$ 的面积的最大值和最小值. 阅读全文

posted @ 2018-09-16 21:48 M.T 阅读(2087) 评论(0) 推荐(0)

MT【213】二次曲线系方程

摘要：(2013北大夏令营) 函数

$y=x^2+ax+b$ 与坐标轴交于三个不同的点

$A,B,C$ ,已知

$\Delta ABC$ 的外心

$P$ 在

$y=x$ 上,求

$a+b$ 的值. 阅读全文

posted @ 2018-09-16 20:49 M.T 阅读(768) 评论(0) 推荐(0)

MT【212】合作共赢

摘要：一次会议有1990位数学家参加，每人至少有过1327位合作者，求证:可以找到4位数学家，他们中每一个都合作过. 阅读全文

posted @ 2018-09-16 20:35 M.T 阅读(254) 评论(0) 推荐(0)

MT【211】保序同构

摘要：设

$S,T$ 是

$R$ 的两个非空子集，如果存在一个从

$S$ 到

$T$ 的函数

$y=f(x)$ 满足:

$1)T=\{f(x)|x\in S\};$ 2)对任意

$x_1,x_2\in S$ ,当

${x_1}<{x_2}$ 时,恒有

${f(x_1)}<{f(x_2)}$ ,称这两个集合"保序同构".则以下集合对不是"保序同构"的是（） A.

$S=N^+,T=N$ B.

$S=\{x|-3\le x\le 8,x\ne 5\},T=\{y|-1\le y\le 2,y\ne0\}$ C.

$S=\{x|{0}<{x}<{\pi}\},T=R$ D.

$S=N,T=Q$ 阅读全文

posted @ 2018-09-10 16:19 M.T 阅读(915) 评论(0) 推荐(0)

MT【210】四点共圆+角平分线

摘要：（2018全国联赛解答最后一题）在平面直角坐标系

$xOy$ 中，设

$AB$ 是抛物线

$y^2=4x$ 的过点

$F(1,0)$ 的弦，

$\Delta{AOB}$ 的外接圆交抛物线于点

$P$ （不同于点

$A,O,B$ ），若

$PF$ 平分

$\angle{APB}$ ，求

$PF|$ 所有可能值。阅读全文

posted @ 2018-09-09 22:18 M.T 阅读(753) 评论(0) 推荐(0)

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