04 2018 档案
摘要：P,Q是两个定点,M为平面内一个动点,且\dfrac{|MP|}{|MQ|}=\lambda(\lambda>0,\lambda\ne1), 点M的轨迹围成的区域面积为S , 设S=f(\lambda),则（ ）
A.f(\lambda)在(0,1)单调递增,在(1,+\infty)单调递减
B.f(\lambda)在(0,1)单调递减,在(1,+\infty)单调递增
C.f(\lambda)在(0,1),(1,+\infty)单调递增
D.f(\lambda)在(0,1),(1,+\infty)单调递减
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摘要：\textbf{证明:}对任意a,b\in R^+, \dfrac{1}{\sqrt{a+2b}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+4b}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+6b}}<\dfrac{6}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a+7b}}
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摘要：设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的两根x_1,x_2满足x_1,x_2\in(0,\dfrac{1}{a})且x_2>x_1,
(Ⅰ)当x\in(0, x_1)时，求证： f(x)\in(x,x_1);
(Ⅱ)设函数f(x)的图象关于x=x_0对称,求证:x_0<\dfrac{x_1}{2}
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摘要：已知数列\{a_n\}满足:a_1=1,a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n(n+1)}
1)证明:对任意n\in N^+,a_n<5
2)证明:不存在M\le4,使得对任意n,M>a_n
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摘要：(2015浙江重点中学协作体一模) 设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动．那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共_______种．
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摘要：（北大优特测试第9题）
已知实数 a_i（i=1,2,3,4,5）满足 (a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_4)^2+(a_4-a_5)^2=1，则 a_1-2a_2-a_3+2a_5 的最大值是_______
A．2\sqrt 2
B．2\sqrt 5
C．\sqrt 5
D．\sqrt{10}
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摘要：(2017北大优特测试第八题)
数列 \{a_n\} 满足 a_1=1，a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}，若 a_{2017}\in (k,k+1)，其中 k\in\mathbb N^{\ast} ，则 k 的值是______
A．63
B．64
C．65
D．66
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试25）
若N的三个子集A,B,C满足|A\cap B|=|B\cap C|=|C\cap A|=1，且A\cap B\cap C=\varnothing，则称(A,B,C)为N 的“有序子集列”．现有N=\{1,2,3,4,5,6\}，则N有（ ）个有序子集列．
A.540
B.1280
C.3240
D.7680
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摘要：(2017年清华大学 THUSSAT)
把不超过实数 x 最大整数记为 [x]，任取互质且不小于 3 的正奇数 m,n，令
I=\sum_{i=1}^{\frac{m-1}{2}}\left[\frac{ni}{m}\right]+
\sum_{j=1}^{\frac{n-1}{2}}\left[\frac{mi}{n}\right],
则( )
A.I<\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}
B.I>\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}
C.I\leq\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}
D.I\geq\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}
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摘要：已知数列\{a_n\}满足:a_n>0,a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2,n\in N^*.
求证:
已知数列\{a_n\}满足:a_n>0,a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2,n\in N^*.
求证:a_n>1 (n\in N^*)
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摘要：若函数f(x)=x^2+ax+b有两个不等实数根x_1,x_2,且x_1,x_2\in(1,3),且x_1\ne x_2那么f(1),f(3)中 ( )
A.只有一个小于1
B.至少一个小于1
C.都小于1
D.都大于1
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摘要：设无穷非负数列\{a_n\}满足a_n+a_{n+2}\ge2 a_{n+1},\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}\le1,证明:
0\le a_n-a_{n+1}\le\dfrac{2}{n(n+1)}
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试24)
已知数列\{a_n\}，其中a_1=a，a_2=b，a_{n+2}=a_n-\dfrac 7{a_{n+1}}，则_______
A.\{a_n\}可能递增
B.\{a_n\}可能递减
C.\{a_n\}可能为有限项
D.\{a_n\}可能为无限项
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试24)
设x,y\in\mathbb{R}，函数f(x,y)=x^2+6y^2-2xy-14x-6y+72的值域为M，则______
A.1\in M
B.2\in M
C.3\in M
D.4\in M
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试3)
集合S=\{1,2,\cdots,25\}，A\subseteq S，且A 的所有子集中元素之和不同．则下列选项正确的有( )
A.|A|_{\max}=6
B.|A|_{\max}=7
C.若A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}，则\sum\limits_{i=1}^5{\dfrac 1{a_i}}\le\dfrac 32
D.若A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}，则\sum\limits_{i=1}^5{\dfrac 1{a_i}}\le2
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摘要：((清华2017.4.29标准学术能力测试1)
a_1,a_2,\cdots,a_9 是数字1到9 的一个排列，则 a_1a_2a_3+a_4a_5a_6+a_7a_8a_9 的最小值为（ ）
A.213 B.214 C.215 D.216
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试10）
甲、乙、丙、丁四人做相互传球的游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿到球的人再传给其他三人中的一人，这样的传球共进行了4次，则第四次球传回甲的概率是_____
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试7)
已知数列\{x_n\}，其中x_1=a，x_2=b，x_{n+1}=x_n+x_{n-1}（a,b是正整数），若2008为数列中的某一项，则a+b可能的取值有( )
A.8 B.9 C.10 D.11
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摘要：(2018浙江省赛14题)
将2n(n\ge2)个不同的整数分成两组a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n.
证明:\sum|a_i-b_j|-\sum{\left(|a_j-a_i|+|b_j-b_i|\right)}\ge n
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摘要：(2018浙江省赛13题)
设实数x_1,x_2,\cdots,x_{2018}满足x_{n+1}^2\le x_nx_{n+2},(n=1,2,\cdots,2016)和\prod\limits_{k=1}^{2018}x_k=1
证明:x_{1009}x_{1010}\le1.
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摘要：(2018,4月学考数学选择最后一题)
如图,设矩形ABCD所在平面与梯形ACEF所在平面相交于AC.
若AB=1,BC=\sqrt{3},AF=EF=EC=1,则下面二面角的平面角为定值的是( )
A.F-AB-C B.B-EF-D C.A-BF-C D.B-AF-D
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摘要：平面上2n个点(n>1,n\in N),无三点共线,任意两点连线段,将其中任意n^2+1条线段染红色.求证:三边都为红色的三角形至少有\left[\dfrac{2}{3}(n+\dfrac{1}{n})\right] 个.
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摘要：问题:满足下面两种限制条件下要想称出40以内的任何整数重量,最少要几个砝码:
i)如果砝码只能在天平的某一边;
ii)如果砝码可以放在天平的两边.
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摘要：(清华大学THUSSAT)
已知 a=\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)^{-10}+\left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)^{-10},\ b=\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)^{10}+\left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)^{10},则点 P(a,b) 的坐标为_____
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摘要：(中国第59届国际数学奥林匹克国家集训队2018.3.20日测试题)
证明:存在常数C>0使得对于任意的正整数m,以及任意m个正整数a_1,a_2,\cdots,a_m,都有
H(a_1)+H(a_2)+\cdots+H(a_m)\le C\left(\sum\limits_{k=1}^m{ka_k}\right)^{\frac{1}{2}}
其中H(n)=\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{k}}
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摘要：设数列\{a_n\}的前n项和S_n满足S_{n+1}=a_2S_n+a_1,其中a_2\ne 0且a_2>-1
求证:S_n\le \dfrac{n}{2}(1+a_n) (重庆2012压轴题)
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摘要：已知数列\{a_n\}满足a_1=1，a_{n+1}\cdot a_n=\dfrac 1n(n\in\mathbb N^*)．
(1) 求证：\dfrac{a_{n+2}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}；
(2) 求证：2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\leqslant \dfrac{1}{2a_3}+\dfrac{1}{3a_4}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+2}}\leqslant n．
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摘要：(清华THUSSAT，多选题)
平面上 4 个不同点 P_1,P_2,P_3,P_4，在每两个点之间连接线段得到 6 条线段. 记
L=\max{|P_iP_j|},\ l=\min{|P_iP_j|},
对任意三点不共线的所有四点组 P_1,P_2,P_3,P_4，把 \dfrac{L}{l} 的取值集合记为 P，则
A.0.5 \in P
B.1 \in P
C.\sqrt{2} \in P
D.2 \in P
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摘要：已知数列\{x_n\}满足x_{n+1}=\left(\dfrac 2{n^2}+\dfrac 3n+1\right)x_n+n+1,n\in\mathbf N^*,且x_1=3，求数列\{x_n\}的通项公式．
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摘要：已知数列\{a_n\}满足2a_{n+1}=1-a_n^2,a_1\in(0,1)．求证：当n\geqslant 3 时，\left|\dfrac{1}{a_n}-\left(\sqrt 2+1\right)\right|<\dfrac{12}{2^n}．
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摘要：在平面上有n 个点S=\{x_1,x_2\cdots,x_n\}, 证明在这 n 个点中距离为 1 的点对数不超过 \dfrac{n}{4}+\dfrac{2}{2}n^{\frac{3}{2}}.
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摘要：AB是椭圆mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m\ne n)的斜率为 1 的弦.AB的垂直平分线与椭圆交于两点CD
(1)求证:|CD|^2-|AB|^2=4|EF|^2 其中E,F为AB,CD 的中点.
(2)证明:A,B,C,D 四点共圆.
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摘要：已知 r_1=0,r_{100}=0.85,(r_k 表示投 k 次投中的概率.)
求证:(1)是否存在n_0使得r_{n_0}=0.5
(2)是否存在n_1使得r_{n_1}=0.8
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摘要：求证：1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots +\dfrac{1}{n^2}+\cdots = \dfrac{\pi^2}6．
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