2017 年 8月随笔档案 - M.T

MT【47】求一道分式的最值

摘要：评：技巧性很大，需要敏锐的洞察力通过柯西不等式把分母变成一样.请记住这个变形

$(a+b+ab+1)=(a+1)(b+1)\le\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}$ 阅读全文

posted @ 2017-08-30 17:16 M.T 阅读(398) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【46】不动点，稳定点几何直观

摘要：评：不动点概念在数列的一类题中也是非常有用的。阅读全文

posted @ 2017-08-30 15:26 M.T 阅读(792) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【45】抛物线外一点作抛物线的切线（尺规作图题）

摘要：注1：S为抛物线焦点注2：由切线的唯一性，以及切线时可以利用MT【42】评得到三角形全等从而得到切线平分

$\angle MQS$ 得到阅读全文

posted @ 2017-08-30 06:22 M.T 阅读(1460) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【44】抛物线不常见性质3

摘要：注：S为抛物线的焦点阅读全文

posted @ 2017-08-30 06:02 M.T 阅读(229) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【43】抛物线不常见性质2.

摘要：注：S为抛物线焦点阅读全文

posted @ 2017-08-29 22:24 M.T 阅读(292) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【42】抛物线不常见性质1.

摘要：评:特别的，当

$PP’$ 为切线时，

$\angle PSK=90^0$ 注:S为抛物线焦点. 阅读全文

posted @ 2017-08-29 22:16 M.T 阅读(268) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【41】利用不等式妙消参数

摘要：已知

$\theta\in[0,2\pi]$ 对任意

$x\in[0,1],2x^2sin\theta-4x(1-x)cos\theta+3(1-x)^2>0$ 恒成立.求

$\theta$ 的范围. 解答:令

$x=1$ 易得

$sin\theta>0,\because x\in(0,1)$ ,$$2x^2sin\t 阅读全文

posted @ 2017-08-28 15:32 M.T 阅读(425) 评论(1) 推荐(0) 编辑

MT【40】一道联赛二试题

摘要：让我通过这道题来演示如何利用切比雪夫多项式的内功心法：评:如此大道至简，当年为之叫绝的精彩的做法阅读全文

posted @ 2017-08-24 18:11 M.T 阅读(304) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【39】构造二次函数证明

摘要：这种构造二次函数的方法最早接触的应该是在证明柯西不等式时：再举一例：最后再举个反向不等式的例子：评:此类题目的证明是如何想到的呢？他们都有一个明显的特征

$AB\ge(\le)C^2$ ,此时构造二次函数利用

$\Delta$ 证明，效果非常理想. 阅读全文

posted @ 2017-08-24 17:53 M.T 阅读(494) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【38】与砝码有关的两个题

摘要：此题只适合1%的优秀学生阅读：北京大学2017中学生数学奖个人能力挑战赛第四题(最后一题)解析：第一问：第二问，略，答案也是147.类似的：评:1.北大的题用了2进制，后面的这题用了三进制，这是由于北大的题要求只能放左盘，所以有（放左，不放）两个状态，所以和2进制产生了联系；后面这题同理，有（放左，放右，不放）三个状态，所以用3进制. 2.后面一题其实是1999年全国高中数学联赛2试题改编... 阅读全文

posted @ 2017-08-23 16:56 M.T 阅读(259) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【37】二次函数与整系数有关的题

摘要：解析: 评:两根式是不错的考虑方向，一方面二次函数两根式之前有相应的经验，另一方面这里

$\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$ 正好和两个根有关系. 阅读全文

posted @ 2017-08-23 12:54 M.T 阅读(260) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【36】反函数有关的一道题

摘要：解答:

$\frac{7}{2}$ 做适当的变换，再令

$x-1=t$ 容易划归到我们熟悉的题型，

$2^t=\frac{3}{2}-t,log_2t=\frac{3}{2}-t$ 作图或者利用函数单调性可得

$t_1+t_2=\frac{3}{2}$ 从而得到答案. 练习：阅读全文

posted @ 2017-08-23 12:15 M.T 阅读(294) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【35】用复数得到的两组恒等式

摘要：特别的，当

$r\rightarrow1^{-}$ 时有以下两个恒等式：第二个恒等式有关的自主招生试题参考博文MT【31】傅里叶级数为背景的三角求和评:利用两种展开形式得到一些恒等式是复数里经常出现的考点. 阅读全文

posted @ 2017-08-22 19:13 M.T 阅读(540) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【34】正余弦的正整数幂次快速表示成正余弦的线性组合

摘要：问题:如何快速把

$cos^4xsin^3x$ 表示成正弦，余弦的线性组合？分析:利用牛顿二项式展开以下表达式: 再利用欧拉公式

$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$ 比如：解答: 评:这样的变换,表示成线性组合在求积分的时候就显得很有用,大学自主招生迟早会考察以上变换阅读全文

posted @ 2017-08-22 18:47 M.T 阅读(572) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【33】证明琴生不等式

摘要：解答：这里数学归纳法证明时指出关键的变形.评:撇开琴生不等式自身的应用和意义外，单单就这个证明也是一道非常不错的练习数学归纳法的经典题目。阅读全文

posted @ 2017-08-22 16:55 M.T 阅读(1807) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【32】内外圆(Apollonius Circle）的几何证明

摘要：另一方面，如果 M 满足(1)式,那么M必然在以PQ为直径的圆上.事实上当M为P或者Q时，这是显然的。当M异于P,Q时，由

$\frac{|MB|}{|MC|}=\frac{|PB|}{|PC|}=\lambda,\frac{|MB|}{|MC|}=\frac{|QB|}{|QC|}=\lambda$ 知MP,MQ分别是

$\angle{BMC}$ 的内角平分线和外交平分线，故$\angle{PMQ}=9... 阅读全文

posted @ 2017-08-22 08:09 M.T 阅读(1190) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【31】傅里叶级数为背景的三角求和

摘要：接下来要讲的这道题，背景有点复杂，不要求99%的学生看的懂背景，但是解答过程中涉及的反证法以及第二数学归纳法对自主招生的学生来说倒是不错的学习机会。解答：评 : 本题的背景为高等数学中的傅里叶分析（这里有一篇我认为是最接地气的介绍傅里叶的文章，没学过积分的会看不懂http://www.360doc.com/content/13/0328/12/202378_274443797.sht... 阅读全文

posted @ 2017-08-21 22:37 M.T 阅读(876) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【30】椭圆的第二定义解题

摘要：问题：上式表示的区域是怎样的？解答：利用椭圆第二定义易知当取等号时为椭圆，又令

$y$ 趋向于

$+\infty$ 时不等号不成立，故可以判断为椭圆内部区域。评:利用mathmatics软件容易得到阅读全文

posted @ 2017-08-21 20:56 M.T 阅读(609) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【29】介绍向量的外积及应用举例

摘要：我们在学校教材里学到的数量积(内积)其实还有一个孪生兄弟向量积(外积),这个对参加自主招生以及竞赛的学生来讲是需要掌握的,这里稍作介绍:原理:例题：应用: 阅读全文

posted @ 2017-08-21 20:09 M.T 阅读(1046) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【28】内心外衣下的等腰三角形个数

摘要：解答:30评：这道题倒不是传统的与内心相关的向量题，传统的与内心或者内切圆有关的两个结论是aIA+bIB+cIC=0以及所谓的"人品公式"S=rp.这里主要是得到此三角形为以AC为底的等腰三角形，结合横坐标，由图像可知答案为6取2的排列数. 阅读全文

posted @ 2017-08-21 16:03 M.T 阅读(269) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【27】对数方程组求范围

摘要：解答：3评论：此类题目通性通法为换元后化归为线性规划问题。当然不等式凑配也是常见技巧，只是容易范围扩大或者缩小. 阅读全文

posted @ 2017-08-21 15:41 M.T 阅读(255) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【26】ln(1+x)的对数平均放缩

摘要：评:1.某种程度上

$ln(1+x)\ge \frac{2x}{2+x}$ 是最佳放缩. 2.这里涉及到分母为幂函数型的放缩技巧，但是不够强,做不了这题。阅读全文

posted @ 2017-08-17 18:44 M.T 阅读(3087) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【25】切线不等式原理及例题

摘要：评:切线不等式和琴生（Jesen)不等式都是有其几何意义的，在对称式中每一项单变量后利用图像的凹凸性得到一个线性的关系式。已知的条件往往就是线性条件，从而可以得到最值. 阅读全文

posted @ 2017-08-17 15:44 M.T 阅读(2157) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【24】一道五次方程的求根题

摘要：解答:评:一般的五次及以上的多项式方程是无根式解的，只能用计算机去精确到某某位。但是特殊的比如

$x^5=1$ 显然有根式解，本题就是一个不平凡的特殊的例子，这里的代换用于求解三次方程的求根过程是一样的. 阅读全文

posted @ 2017-08-17 15:35 M.T 阅读(368) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【23】用算术几何不等式证明数列极限存在

摘要：评:如果不需要精确到3，上界的求法可以利用

$(1+\frac{1}{n})^n*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}<(\frac{n+\frac{1}{n}*n+\frac{1}{2}*2}{n+2})^{n+2}=1$ 显得更简单些阅读全文

posted @ 2017-08-17 15:25 M.T 阅读(468) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【22】一道分母为混合型的放缩

摘要：评:指数函数增长》幂函数增长》对数函数增长. 阅读全文

posted @ 2017-08-17 12:42 M.T 阅读(268) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【21】任意基底下的距离公式

摘要：解析：评：

$\theta=90^0$ 时就是正交基底下（即直角坐标系下）的距离公式。阅读全文

posted @ 2017-08-17 12:26 M.T 阅读(307) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【20】一道三次函数的难题

摘要：评：这道题由于系数弄得不是很好，涉及的难度为联赛一试+难度。中间用到了

$Sturm$ 定理，还涉及到一些代数变形技巧，最后一个求关于

$m$ 的三次方程又涉及到三次方程的求法.一个小时讲这一道题也不为过. 阅读全文

posted @ 2017-08-17 12:14 M.T 阅读(553) 评论(1) 推荐(0) 编辑

MT【19】舒尔不等式设计理念及证明

摘要：评：舒尔的想法是美妙的，当然他本身也有很多意义，在机械化证明的理念里，它也占据了一方田地。阅读全文

posted @ 2017-08-17 12:01 M.T 阅读(1618) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【18】幂平均不等式的证明

摘要：评:证明时对求导要求较高，利用这个观点，对平时熟悉的调和平均，几何平均，算术平均，平方平均有了更深刻的认识. 阅读全文

posted @ 2017-08-17 09:17 M.T 阅读(8006) 评论(0) 推荐(1) 编辑

MT【17】利用柯西不等式求三角的最大值

摘要：评：此题也可以设

$1+cos\theta=t$ ,平方后变成

$t$ 的单变量利用均值去做. 柯西平衡系数法其实就是待定系数法，利用等号取到的条件。阅读全文

posted @ 2017-08-17 09:09 M.T 阅读(820) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【16】证明无理数(2)

摘要：证明:

$sin10^0$ 为无理数.分析:此处用

$sin$ 的三倍角公式，结合多项式有有理根必须满足的系数之间的关系可以证明.评:证明

$sin9^0$ 为无理数就不那么简单.思路:先利用

$sin54^0=cos36^0$ 得到

$sin18^0$ 的值，从而得到

$cos18^0$ 的值

$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$ 是无理数，从而利用

$cos$ 的二倍角公式易得

$sin9^0$ ... 阅读全文

posted @ 2017-08-16 21:45 M.T 阅读(291) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【15】证明无理数(1)

摘要：证明：

$tan3^0$ 是无理数.分析：证明无理数的题目一般用反证法，最经典的就是

$\sqrt{2}$ 是无理数的证明. 这里假设

$tan3^0$ 是有理数，利用二倍角公式容易得到

$tan6^0,tan12^0,tan24^0$ 是有理数，进而

$\frac{\sqrt{3}}{3}=tan30^0$ 也是有理数,矛盾.评:同样的方法可以证明

$tan7^0$ 无理数。阅读全文

posted @ 2017-08-16 21:28 M.T 阅读(355) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【14】最大最小问题变形

摘要：解答：评：这类最大最小问题有几何方法和代数方法两种解法。阅读全文

posted @ 2017-08-11 17:25 M.T 阅读(373) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【13】三角函数求范围

摘要：解答:AB显然正确，C中

$a$ 取0时，解为三个,C 错误。我们主要看一下D评:这里提供了一个处理

$sin^2xcosx$ 的常见方法：平方，单变量后用算术几何不等式. 阅读全文

posted @ 2017-08-11 17:01 M.T 阅读(372) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【12】三点坐标求面积

摘要：

$L_1,L_2$ 是O发出的两条射线,C是一个常数，一条动直线

$l$ 分别与

$L_1,L_2$ 交于A,B两点。

$S_{\Delta ABC}=C$ ，求A,B的中点D的轨迹方程.(2012北大自主招生）评：如果知道行列式的相关知识，可以由坐标直接求线段长，面积以及体积。阅读全文

posted @ 2017-08-10 08:52 M.T 阅读(654) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【11】对数放缩题

摘要：解答：C 评论:这里讲几个背景知识阅读全文

posted @ 2017-08-09 17:07 M.T 阅读(534) 评论(1) 推荐(0) 编辑

MT【8】和e有关的一个极限

摘要：解答：评：这里涉及到e有关的极限的单调性，求导数得：阅读全文

posted @ 2017-08-09 17:06 M.T 阅读(501) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【9】绝对值二次函数

摘要：解答: 评:容易用绝对值不等式证明当

$x\in[1,5]$ 时

$|x^2+px+q|\ge2$ 阅读全文

posted @ 2017-08-09 17:06 M.T 阅读(318) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【10】和三次有关的一个因式分解

摘要：解答: 评：1此处因式分解也可以看成关于

$a$ 的函数

$f(a)$ 利用多项式有理根的有关知识得到 2.此处我们可以得到关于

$\Delta ABC$ 的余弦的一个不等式

$cosA+cosB+cosC>1$ 该不等式也可以用三角形的射影定理

$a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC$ 两式相加变阅读全文

posted @ 2017-08-09 17:06 M.T 阅读(340) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【4】坐标平移后齐次化

摘要：简答:通过坐标平移可以将A点移到原点，设BC：mx’+ny’=1,联立坐标变换后的椭圆方程和BC，将

$\frac{y}{x}$ 看成斜率k，得到关于k的一元二次方程，由题意两根之积为-1，可得. 阅读全文

posted @ 2017-08-09 17:05 M.T 阅读(1236) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【5】蝴蝶效应:一道递推式为二次的数列

摘要：评:蝴蝶效应【蝴蝶效应（The Butterfly Effect）是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。这是一种混沌现象。任何事物发展均存在定数与变数，事物在发展过程中其发展轨迹有规律可循，同时也存在不可测的“变数”，往往还会适得其反，一个微小的变化能影响事阅读全文

posted @ 2017-08-09 17:05 M.T 阅读(436) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【6】等比数列和的极限

摘要：评：利用等比数列求和公式给出所求数列，再利用反证法证明唯一性。这种反证方法印象中本科高等代数里讲初等对称多项式时出现过. 阅读全文

posted @ 2017-08-09 17:05 M.T 阅读(1501) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【7】伯努利不等式

摘要：评：伯努利不等式：若

$r\le0$ 或者

$r\ge1$ ,

$(1+x)^r\ge1+rx$ , 若

$0\le r\le1$ ,

$(1+x)^r\le1+rx$ 阅读全文

posted @ 2017-08-09 17:05 M.T 阅读(1255) 评论(0) 推荐(0) 编辑