MT【253】仿射和蒙日圆

如图,设点$M(x_0,y_0)$是椭圆$C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$上一点,从原点$O$向圆$M:(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\dfrac{2}{3}$作两条切线分别与椭圆$C$交于$P,Q$,直线$OP,OQ$的斜率分别为$k_1,k_2$
(1)求证:$k_1k_2$为定值
(2)求四边形$OPQM$面积的最大值.

 

 

分析:涉及到面积最大容易想到仿射变换:
(1)
$$\begin{cases}
x^{'}&=x\\
y^{'}&=\sqrt{2}y
\end{cases}$$
则$k^{'}=\sqrt{2}k$,由蒙日圆性质得$k_1^{'}k_2^{'}=-1$故$k_1k_2=-\dfrac{1}{2}$
(2)如图$S=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(S_1+S_2)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(sin\alpha+cos\alpha)\le1$

第二小问常规方法提示：