MT【221】几个常用的多元恒等式

1.$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{a_ib_j}=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{a_jb_i}= \left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n}b_i\right)$
2.$\sum\limits_{i=1}^{n}a^2_i+2\sum\limits_{1\le i<j\le n}a_ia_j=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\right)^2$
3.$n\sum\limits_{i=1}^{n}a^2_i-\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\right)^2=\sum\limits_{1\le i<j\le n}(a_i-a_j)^2$
4.(拉格朗日恒等式)
$\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a^2_i\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{b^2_i}\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{a_ib_i}\right)^2 =\sum\limits_{1\le i<j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)^2$