MT【215】集合中元素个数

设$M=\{1,2,3\cdots,2010\}$,$A$是$M$的子集且满足条件:当$x\in A$时$15x\notin A$,则$A$中的元素的个数最多是______

分析:由于$x,15x,(x=9,10,\cdots,134)$至少有一个不属于$A$，
故$M$中至少有134-9+1=126个不属于$A,\therefore |A|\le2010-126=1884$
又$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\cup \{135,136,\cdots,2010\}$满足要求,故$|A|_{max}=1884$
思路其实来自极端法,先从2010，2009开始排,然后说明确实是这样最佳