MT【189】二次条件配方

“当一幢建筑物完成时，应该把脚手架拆除干净。”——高斯

(2017北大特优)若对任意使得关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$（$ac\ne 0$）有实数解的 $a,b,c$ 均有 $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant rc^2$，则实数 $r$ 的最大值是_____
A．$1$
B．$\frac{9}{8}$
C．$\frac{9}{16}$
D．$2$

答案:$\dfrac{9}{8}$
提示:令$\dfrac{b}{c}=m,\dfrac{a}{c}=n,$则只需在满足$m^2-4n\ge0$时,求$2(m^2+n^2-mn-m-n+1)$的最小值.
注意到$80(m^2+n^2-mn-m-n+1)-30(m^2-4m)=2(5m-4n-4)^2+3(4n-1)^2+45\ge45$，即得.