MT【183】借力打力

(2011安徽省赛)设$f(x)=ax^3+bx+c(a,b,c\in R)$,当$0\le x \le1$时,$0\le f(x)\le1$,求$b$的可能的最大值.

分析:$f(0)=c,f(1)=a+b+c,f(t)=at^3+bt+c(0<t<1)$
得$(t-t^3)b=f(t)-t^3f(1)-(1-t^3)f(0)\le f(t)\le1$ 恒成立.
故$b\le (\dfrac{1}{t-t^3})_{min}$故$b\le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$当$c=0,t=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$时取到.