MT【182】系数奇怪的二次函数

设函数$f(x)=3ax^2-2(a+b)x+b,$其中$a>0,b\in R$
证明:当$0\le x\le 1$时,$|f(x)|\le \max\{f(0),f(1)\}$

分析:由$a>0$知道$\max\{f(0),f(1)\}=\max\{|f(0)|,|f(1)|\}$
则 $$\begin{align*} |f(x)| & \le |(3x^2-4x+1)f(0)+(3x^2-2x)f(1)| \\ &\le(|3x^2-4x+1|+|3x^2-2x|)\max\{|f(0)|,|f(1)|\}\\ &= \max\{|6x^2-6x+1|,|-2x+1|\}\max\{|f(0)|,|f(1)|\}\\ &\le\max\{|f(0)|,|f(1)|\} \end{align*}$$

注:奇怪的系数如果结合定积分在几何上是显然的。

练习:

(2012浙江压轴题)
已知$a>0,b\in R$,函数$f(x)=4ax^3-2bx-a+b$.
1)证明:当$0\le x\le 1$时,
i)函数$f(x)$的最大值为$|2a-b|+a;$
ii)$f(x)+|2a-b|+a\ge0$
2)若$-1\le f(x)\le 1$对$x\in[0,1]$恒成立,求$a+b$的范围.