MT【169】拉格朗日配方

已知$x^2+y^2+z^2=1$求$3xy-3yz+2z^2$的最大值______

答案:$3$

提示:$3(x^2+y^2+z^2)-(3xy-3yz+2z^2)=3\left(y+\dfrac{z-x}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}(3x+z)^2\ge0$

这里的3,是通过待定$f(x,y,z)=k(x^2+y^2+z^2)-(3xy-3yz+2z^2)$令$\Delta_y=0,\Delta_x=0$得到一个三次的关于$k$的式子:$-2k^3+4k^2+9k-9=0$得到.