MT【162】渐近估计

(2017北大优特测试第八题)

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$，若 $a_{2017}\in (k,k+1)$，其中 $k\in\mathbb N^{\ast}$，则 $k$ 的值是______
A．$63$
B．$64$
C．$65$
D．$66$

答案:A
提示:对于上述递推式事实上我们有$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}=\sqrt 2.$
如果数列递推式改为$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a^2_n}$
我们有以下估计:$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt[3]{n}}=\sqrt[3]{3}$