MT【154】拉格朗日配方

 (清华2017.4.29标准学术能力测试24)

设$x,y\in\mathbb{R}$，函数$f(x,y)=x^2+6y^2-2xy-14x-6y+72$的值域为$M$，则______
A.$1\in M$
B.$2\in M$
C.$3\in M$
D.$4\in M$

答案:C和D.
提示:原式=$(x-y-7)^2+5(y-2)^2+3$

练习1:

已知 $9a^2+8ab+7b^2\leq 6$，求 $7a+5b+12ab$ 的最大值.

提示:

$$\begin{align*} 6-(7a+5b+12ab) &= \left(3a-\dfrac{7+4b}{6}\right)^2+\dfrac{236}{36}(b-\dfrac{1}{2})^2-3 \\ & \ge-3\\ \textbf{或者:} 6-(7a+5b+12ab) \\ & \geq 9a^2+8ab+7b^2-(7a+5b+12ab) \\ & =2(a-b)^2+7(a-\frac{1}{2})^2+5(b-\frac{1}{2})^2-3 \\ &\geq -3 \end{align*}$$

 练习2

已知$O$为坐标原点,点$P$为曲线$2xy-5x-4y+6=0$上的动点,则$OP$的最小值为_____
答案:$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
分析:

$$\begin{align*} OP^2&=x^2+y^2\\&=x^2+y^2+\dfrac 12\left(2xy-5x-4y+6\right)\\ &=\left(x+\dfrac 12y-\dfrac 54\right)^2+\dfrac 34\left(y-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 54\\ &\ge \dfrac 54 \end{align*}$$

听凤凰传奇《月亮之上》版数学诗歌：

拉格朗日， 傅立叶旁， 我凝视你凹函数般的脸庞。 微分了忧伤， 积分了希望， 我要和你追逐黎曼最初的梦想。 感情已发散， 收敛难挡， 没有你的极限， 柯西抓狂， 我的心已成自变量， 函数因你波起波荡。 低阶的有限阶的， 一致的不一致的， 是我想你的皮亚诺余项。 狄利克雷，勒贝格杨 一同仰望莱布尼茨的肖像， 拉贝、泰勒，无穷小量， 是长廊里麦克劳林的吟唱。 打破了确界， 你来我身旁， 温柔抹去我， 阿贝尔的伤， 我的心已成自变量， 函数因你波起波荡。 低阶的有限阶的， 一致的不一致的， 是我想你的皮亚诺余项。