MT【142】Bachet 问题,进位制

问题:
满足下面两种限制条件下要想称出40以内的任何整数重量,最少要几个砝码:
i)如果砝码只能在天平的某一边;
ii)如果砝码可以放在天平的两边.

提示:对于 i)先证明如下事实:

$$\textbf{砝码 $1,2,4,\cdots,2^{n-1}$ 可以称出 $2^n-1$ 以内的任何整数质量,且没有其他的仅由 $n$ 个砝码组成的集合具有同样的称重效果(能称出同样多的一列从 $1$ 开始的连续重量)}$$

分析:
因为 $1$ 到 $2^n-1$ 的任何正整数无一例外的可以用唯一的表示方式表示成一个 $n$ 位二进制数,表示成和式为$\sum\limits_{0}^{n-1}{a_s2^s}$, 其中 $a_s\in\{0,1\}$. 从而这样的砝码就可以满足我们的目标,且"没有浪费"(没有两种砝码的组合会产生相同的效果).既然没有浪费,故没有另外的选择的砝码能称更长的一列重量.
为了称重量为 $1$ 的质量,有一个砝码必须是 $1$ ;为称重量为 $2$ 的质量,有一个砝码必须为 $2$; 为称重量为 $4$ 的质量,有一个砝码必须为 $4$; 依此类推, $1,2,4,\cdots,2^{n-1}$ 是能实现我们目标的唯一的一组砝码.

回到此题,
40不是形如$2^n-1$的数,由上述分析 可知道,砝码 $1,2,4,8,16,32$ 可以称出 63 以下的任何质量,而没有五个砝码可以称出超过$31$的质量.但值得注意的是对于 40 而言,解答不唯一.砝码 1,2,4,8,9,16 也能称出 40 以内的任何质量.

对于ii）可以参考北大的自主招生题MT【38】