MT【141】逆用特征根法

(清华大学THUSSAT)
已知 $a=\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)^{-10}+\left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)^{-10},\ b=\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)^{10}+\left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)^{10}$,则点 $P(a,b)$ 的坐标为_____

解答:
显然$a=b$,设$x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}, x_2= \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ ,则 $x_1+x_2=-1,x_1x_2=-1$
$x_1,x_2$为方程$x^2+x-1=0$的两根.此特征方程对应的递推数列为$a_{n+1}=a_{n-1}-a_n$
易知$a_1=-1,a_2=3$故有递推式知:$a_3=-4,a_4=7,a_5=-11,a_6=18,a_7=-29,a_8=47,a_9=-76,a_{10}=123$,显然$a=b=a_{10}=123$