MT【128】不动点指路

已知数列$\{a_n\}$满足$2a_{n+1}=1-a_n^2$，且$0<a_1<1$．求证：当$n\geqslant 3$ 时，$\left|\dfrac{1}{a_n}-\left(\sqrt 2+1\right)\right|<\dfrac{12}{2^n}$．

解答:
设迭代函数$f(x)=\dfrac 12\left(1-x^2\right)$，那么函数的不动点为$x=\sqrt 2-1$，一个保值区间是$\left[0,\dfrac 12\right]$．
考虑到$0<a_1<1$，于是$0<a_2<\dfrac 12$，从而$\dfrac 38<a_3<\dfrac 12$．
由不动点改造递推数列得 $$|a_{n+1}-(\sqrt 2-1)|=\dfrac 12|a_n-(\sqrt 2-1)|\cdot|a_n+\sqrt 2-1|<\dfrac 12|a_n-(\sqrt 2-1)|,$$ 又当$n=3$ 时，$|a_3-(\sqrt 2-1)|<\dfrac 18$，于是当$n\geqslant 3$时，有 $$\left|a_n-\left(\sqrt 2-1\right)\right|<\dfrac{1}{2^n}.$$ 而欲证明不等式即 $$\left|\dfrac{\left(\sqrt 2-1\right)-a_n}{a_n\left(\sqrt 2-1\right)}\right|<\dfrac{12}{2^n},$$ 于是只需要证明 $$\left|a_n\left(\sqrt 2-1\right)\right|>\dfrac{1}{12},$$ 也即 $$a_n>\dfrac{\sqrt 2+1}{12},n\geqslant 3.$$ 事实上，当$n\geqslant 3$ 时，有 $$a_n>\dfrac 38>\dfrac{\sqrt 2+1}{12},$$ 于是原命题得证．

评:此类不动点题型，在做之前就有一个潜台词：$a_n$的范围可以通过作图可以做题前得到,后面问你的东西可以由这个潜台词去构造。