MT【127】点对个数两题之一【图论】

在平面上有\(n\) 个点$S={x_1,x_2\cdots,x_n}, $ 其中任意两个点之间的距离至少为 \(1\)，
证明在这 \(n\) 个点中距离为 \(1\)的点对数不超过 \(3n\).

证明:
如果两点间距离为 1 则相连,所以要求距离为 1 的点对数就是图 G 中的边数.我们只需证明:边数\(|E|\le 3n\)
考虑图G中每个点的度,考虑到与点\(v_k,(k=1,2,\cdots ,n)\)相连的点都在单位圆上,所以\(d(v_k)\le 6\)
结合\(2|E|=\sum\limits_{k=1}^{n}{d(v_k)}\le6n,\)得\(|E|\le 3n\).