MT【125】四点共圆

(2017湖南省高中数学竞赛16题)
$AB$是椭圆$mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m\ne n)$的斜率为 1 的弦.$AB$的垂直平分线与椭圆交于两点$CD$
(1)求证:$|CD|^2-|AB|^2=4|EF|^2$ 其中$E,F$为$AB,CD$ 的中点.
(2)证明:$A,B,C,D$ 四点共圆.

证明第(2)问： 设$AB,CD$的交点$P(x_0,y_0)$,过点$P$的直线方程为

$$\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} x &= x_0+t \\ y&=y_0+kt \end{aligned} \right. \end{equation*}$$

与椭圆联立可得 $m(x_0+t)^2+n(y_0+kt)^2=1$;
整理得 $(m+nk^2)t^2+2(mx_0+ny_0k)t+mx_0^2+ny_0^2-1=0$
得到$t_1t_2=\dfrac{mx_0^2+ny_0^2-1}{m+nk^2} ( \textbf{为定值})$ (由题意这里 $k=\pm 1$)
故由相交线定理可得$A,B,C,D$四点共圆.
事实上,由上面的证明过程我们可以得到更一般的结论:非圆二次曲线，如果对称轴在 $x$ 轴或者$y$轴上(相当于没有xy交叉项).对应的$AC$与$BD$直线如果斜率互为相反数(保证了$k^2$相等),则四点共圆.