MT【356】对称式

 

 

注：此题为2010浙江高考压轴题
(1)$f^{'}(x)=e^x(x-a)[x^2+(3-a+b)x+2b-ab-a]$
通过三次函数图像易得$g(a)=a^2+(3-a+b)a+2b-ab-a<0$得$b<-a$
(2)易得$(x_1+x_2-2a)(2x_1+x_2-3a)(x_1+2x_2-3a)=0,$
其中$x_1+x_2=a-b-3,x_1x_2=2b-ab-a$
化简得$(2x_1+x_2-3a)(x_1+2x_2-3a)=2(x_1+x_2)^2+x_1x_2-9a(x_1+x_2)+9a^2=0$
代入得$(a+b)^2+7(a+b)+9=0$
故$b=-a+\dfrac{-7\pm\sqrt{13}}{2}$
综上$b=-a-3,x_4=a\pm2\sqrt{6} $;
$b=-a+\dfrac{-7+\sqrt{13}}{2},x_4=a+\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$;
$b=-a+\dfrac{-7-\sqrt{13}}{2}，x_4=a+\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$
练习:
三次方程$x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0$的三个根成等差数列的充分充要条件是:
$2a_1^3-9a_1a_2+27a_2=0$