MT【353】线性化夹逼

若实数$a,b$满足$\dfrac{5}{2}a-\dfrac{3}{2}b-2\le\ln(a+b)+\ln(a-b)$, 求$5a-3b$=______

注意到:$\ln x\le x-1(x>0)$
则$\ln(a+b)+\ln(a-b)=\ln(\dfrac{1}{2}(a+b))+\ln2(a+b)$

$\le \dfrac{1}{2}(a+b)-1+2(a+b)-1=\dfrac{5}{2}a-\dfrac{3}{2}b-2$
故$\dfrac{5}{2}a-\dfrac{3}{2}b-2=\ln(a+b)+\ln(a-b)$当$a=\dfrac{5}{4},b=\dfrac{3}{4}$时等号成立
故$5a-3b=4$
注:此处系数是待定出来的.

 

练习:
若$x,y$是实数,$e^{x+y+2}-3\le\ln(y-2x+1)+3x$,则$2x+y$的值为_____
提示:$2x+y=-\dfrac{8}{3}$