MT【352】极值点偏移
$0<x<y,x^y=y^x$,证明:$x+y>2e$
分析:注意到条件变形为$\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln y}{y}\in(0,\dfrac{1}{e})$,结合对数算术平均不等式以及合分比定理得$\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{x-y}{\ln x-\ln y}\in(e,+\infty)$故$x+y>2e$
懂，会，熟，巧；趁青春尚在，奋力前行，追求卓越！
$0<x<y,x^y=y^x$,证明:$x+y>2e$
分析:注意到条件变形为$\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln y}{y}\in(0,\dfrac{1}{e})$,结合对数算术平均不等式以及合分比定理得$\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{x-y}{\ln x-\ln y}\in(e,+\infty)$故$x+y>2e$
