MT【346】拐点处分界

已知函数$f(x)=-x^3+9x^2-26x+27$,对任意$k>0$,直线$y=kx+a$与曲线$y=f(x)$有唯一公共点,求$a$的取值范围.

分析:$f^{"}(x)=-6x+18$,如图,$f(x)$在$(-\infty,3)$下凸,$(3,+\infty)$上凸.拐点$P(3,f(3))$处的切线方程为$y=x$.
$f(x)$的极大值为$M(3+\dfrac{\sqrt{3}}{3},3+\dfrac{2\sqrt{3}}{9})$,记$Q(0,a)$ 由图可知

1)$a\ge3+\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$时$y=kx+a$与$y=f(x)$图像只有唯一一个公共点.

2)$a\in[3,3+\dfrac{2\sqrt{3}}{9})$时,由于$k>0$故有三个公共点.
3)$a\in(0,3)$时,有三个公共点.
4)$a\in(-\infty,0]$时,
若$k\in(0,k_{PQ})$,直线与曲线上凸部分有唯一公共点;
若$k=k_{PQ}$直线与曲线有唯一公共点$P$;
若$k\in(k_{PQ},+\infty)$,直线与曲线下凸部分有唯一公共点.
综上,$a\in(-\infty,0]\cup[3+\dfrac{2\sqrt{3}}{9},+\infty)$