MT【342】条件为非负实数

已知$x,y,z$为非负实数,满足$(x+\dfrac{1}{2})^2+(y+1)^2+(z+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{27}{4}$,
则$x+y+z$的最小值为______

分析:由题意$x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=\dfrac{13}{4}$
故$\dfrac{13}{4}\le (x+y+z)^2+3(x+y+z)$得$x+y+z\ge\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$
当$x=0,y=0,z=\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$时等号取到
注:最大值用柯西易得.

练习：已知非负实数$a,b,c$满足$a+b+c=1$求$a^3+2b^2+\dfrac{10}{3}c$的最大值和最小值.

 

提示:$a^3+2b^2+\dfrac{10}{3}c\le \dfrac{10}{3}(a+b+c)=\dfrac{10}{3}$
当$(a,b,c)=(0,0,1)$时取到最大值$\dfrac{10}{3}$
最小值提示:$a^3+2b^2+\dfrac{10}{3}c\ge\dfrac{4}{3}(a+b+c)+2c-\dfrac{22}{27}\ge\dfrac{14}{27}$
当$(a,b,c)=(\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},0)$时取到.

注：最小值放缩用到了待定系数.