MT【340】彭塞列闭合定理

如图,设点

$P$ 时抛物线

$C_1:y^2=4x$ 上的动点,过

$P$ 作圆

$C_2:(x-3)^2+y^2=r^2(r>0)$ 的两条切线交抛物线

$C_1$ 于

$A,B$ 两点,其中

$M,N$ 为切点.若过

$A,B$ 两点的直线恒与

$C_2$ 相切,求

$r$ 的值.

如图,设点 $P$ 时抛物线 $C_1:y^2=4x$ 上的动点,过 $P$ 作圆 $C_2:(x-3)^2+y^2=r^2(r>0)$ 的两条切线交抛物线 $C_1$ 于 $A,B$ 两点,其中 $M,N$ 为切点.若过 $A,B$ 两点的直线恒与 $C_2$ 相切,求 $r$ 的值.

解答:

从必要性入手,当 $P(0,0)$ 时,由几何关系易知半径满足 $r^3+7r^2-36=0$
故 $r=2,r=-3,r=-6$ 由题意 $r>0$ 知道 $r=2$
下证: $r=2$ 时,满足要求.设 $P(t^2,2t),A(t_1^2,2t_1),B(t_2^2,2t_2)$ ,则 $PA:2x-(t+t_1)y+2tt_1=0$
圆心 $(3,0)$ 到直线 $PA$ 距离 $d=\dfrac{|6+2t_1t|}{\sqrt{4+(t_1+t)^2}}=r=2$ 整理得 $(t^2-1)t_1^2+4tt_1+5-t^2=0$
同理 $PB$ 与圆相切得 $(t^2-1)t_2^2+4tt_2+5-t^2=0$
故 $t_1+t_2=-\dfrac{4t}{t^2-1},t_1*t_2=\dfrac{5-t^2}{t^2-1}$
此时 $AB:2x-(t_1+t_2)y+2t_1t_2=0$
圆心 $(3,0)$ 到直线 $AB$ 的距离 $d=\dfrac{|6+2t_1t_2|}{\sqrt{4+(t_1+t_2)^2}}=\dfrac{|6+2*\frac{5-t^2}{t^2-1}|}{\sqrt{4+(-\frac{4t}{t^2-1})^2}}=2=r$
故此时 $AB$ 与圆也相切.