MT【319】分段递推数列

已知数列$ x_n $满足$ 0<x_1<x_2<\pi $,且
\begin{equation*}
x_{n+1}=
\left\{ \begin{aligned}
x_n+\sin x_n&,x_n\le x_{n-1}\\
x_n+\cos x_n&,x_n> x_{n-1}
\end{aligned} \right.
\end{equation*}
证明:$x_4>x_3$且$0<x_n<\pi$


证明:由定义$x_3=x_2+\cos x_2$
若$ 0<x_2<\dfrac{\pi}{2} $则$x_3>x_2$,又由单调性得$ 1<x_3<\dfrac{\pi}{2} $故$x_4=x_3+\cos x_3>x_3 $
若$ \dfrac{\pi}{2}\le x_2<\pi $则$ x_3\le x_2 $又由单调性得$ \dfrac{\pi}{2}\le x_3< \pi $故$ x_4=x_3+\sin x_3>x_3 $
综上$ x_4>x_3 $
下面用数学归纳法证明$ x_n\in(0,\pi) $
(1)当$ n=2 $时$ x_2\in(0,\pi) $命题成立
(2)假设当$n=k\ge2$时$ x_k\in(0,\pi) $成立,
那么$ n=k+1 $时,由定义
\begin{equation*}
x_{k+1}=
\left\{ \begin{aligned}
x_k+\sin x_k&,x_k\le x_{k-1}\\
x_k+\cos x_n&,x_k> x_{k-1}
\end{aligned} \right.
\end{equation*}
利用分段函数每一段上的单调性易知当$ x_k\in(0,\pi) $时$ x_{k+1}\in(0,\pi) $
综上由(1)(2)结合$x_1\in(0,\pi)$知$x_n\in(0,\pi),n\in N^+$

 

练习:MT【267】

\begin{equation*}
\textbf{已知}x_1,x_2<\pi,x_{n+1}=x_n+\left\{ \begin{aligned}
sin x_n &,x_n>x_{n+1}\\
cos x_n&,x_n\le x_{n+1}\\
\end{aligned} \right.
\end{equation*}
证明:$ x_n<\dfrac{3\pi}{2}$

注:这个练习题让我想起了遇到这题的那个夏天,地点杭州,时间2014,当时带我们学校的学生去参加数学会组织的暑期竞赛培训,结束后,顺道去睿达看望正在授课的陈计老师,两件事让我记忆尤深,第一件是和陈老师睡一间彻夜长谈的情景,第二件是电梯口遇到苏淳老师。苏老师身为宗师级的老前辈,对后辈一点架子都没有。我当时在电梯口等电梯没认出苏老师(这之前平时看苏老师的书算是二维的苏老师,从没见过三维的苏老师),闲聊搭讪时候自我介绍说我也是数学老师,苏老师竟然对我鞠了一躬,笑着说道:老师好!然后另外一个老师过来和苏老师打招呼,我才知道原来他就是大名鼎鼎的苏淳,我赶忙鞠躬致意。后来听苏老师讲组合,上课娓娓道来,思路清晰,让我感觉醍醐灌顶。

posted @ 2019-03-25 08:14  M.T  阅读(359)  评论(0编辑  收藏  举报