MT【308】投影的定义

已知向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$满足:$|\overrightarrow{a}|=2$,向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$夹角为$\dfrac{2\pi}{3}$
则$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$的取值范围_____

 

提示:如图记$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|OA||OB|\cos\angle AOB=2|OB|\cos\angle AOB$由投影的几何意义知,当点$B$运动到$B_1,B_2$时分别取到最大和最小,易得$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\in[2-\dfrac{4\sqrt{3}}{3},2+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}]$

 

练习:已知$|\overrightarrow{e}|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{e}|=|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{e}|=1$
求$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$的取值范围_____

 

提示:如图单位圆中设$-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB},\overrightarrow{e}=\overrightarrow{OE}$

$|OA|=2x,x\in[0,1]$
$(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})_{max}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB_1}=2x(1+x)\le4$
$(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})_{min}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB_2}=2x(x-1)\ge-\dfrac{1}{2}$
故:$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\in[-4,\dfrac{1}{2}]$

 

练习：已知$2|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$,则$(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})$的取值范围为______

答案：$[-\dfrac{1}{8},3]$，提示：方法如上面的练习题