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MT【285】含参数函数绝对值的最大值

(浙江2013高考压轴题)已知aR,函数f(x)=x33x2+3ax3a+3
(2)当x[0,2]时,求|f(x)|的最大值.


分析:
由题意f(x)=3x26x+3a
Δ=36(1a)0时,可求得极值点x1=11a,x2=1+1a
(注:考虑到x[0,2] 故只需考虑0a1时)
对应极值为f(x1)=1+2(1a)1a,f(x2)=12(1a)1a
(注:求极值时用x2=2xa降次后再代入)
f(x1)+f(x2)=2>0,f(x1)f(x2)=4(1a)1a>0
f(x1)|f(x2)|
max{|f(x)}=max{|f(x)min|,|f(x)max|}
故只需考虑
max{|f(x)|}=max{|f(0)|,|f(2)|,|f(x1)|}=max{|33a|,|3a1|,1+2(1a)1a}
由图像可得
max{|f(x)|}={33a,a01+2(1a)1a,0<a<343a1,a34


注:
|f(x)|的最大值的题型要想到用画图去做.

题中g(a)=1+2(1a)1a,(0<a<1)的图像可以由y=2a32变换得到

 

 

 

 

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