MT【285】含参数函数绝对值的最大值
(浙江2013高考压轴题)已知a∈R,函数f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3
(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.
分析:
由题意f′(x)=3x2−6x+3a
当Δ=36(1−a)≥0时,可求得极值点x1=1−√1−a,x2=1+√1−a
(注:考虑到x∈[0,2] 故只需考虑0≤a≤1时)
对应极值为f(x1)=1+2(1−a)√1−a,f(x2)=1−2(1−a)√1−a
(注:求极值时用x2=2x−a降次后再代入)
由f(x1)+f(x2)=2>0,f(x1)−f(x2)=4(1−a)√1−a>0得
f(x1)≥|f(x2)|
∵max{|f(x)}=max{|f(x)min|,|f(x)max|}
故只需考虑
max{|f(x)|}=max{|f(0)|,|f(2)|,|f(x1)|}=max{|3−3a|,|3a−1|,1+2(1−a)√1−a}
由图像可得
max{|f(x)|}={3−3a,a≤01+2(1−a)√1−a,0<a<343a−1,a≥34
注:
|f(x)|的最大值的题型要想到用画图去做.
题中g(a)=1+2(1−a)√1−a,(0<a<1)的图像可以由y=2a32变换得到
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