MT【284】构造函数的导数的两类题型
第一类:
已知定义在R上的奇函数f(x),f(−1)=0,当x>0时,xf′(x)−f(x)<0,则f(x)>0的解集为____
第二类:
已知函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=exx,f(2)=e28则x>0时,f(x) ( )
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既有极大值,又有极小值
D.既无极大值,也无极小值
分析:
第一类:
答案(−∞,−1)∪(0,1)
提示:构造函数g(x)=f(x)x
注:一般的函数构造考虑g(x)=xbf(x)∨g(x)=eaxf(x)∨g(x)=eaxxbf(x)
第二类:
分析:由x2f′(x)=exx−2xf(x)
得x3f′(x)=ex−2x2f(x)
得(x3f′(x))′=ex−2exx=ex(x−2)x
易得g(x)=x3f′(x)≥g(2)=8f′(2)=0,故f′(x)在(−∞,0)为负,在(0,+∞)为正.
故f(x)在(0,+∞)无极值.
注:这是两类题,一类是构造的函数的导数可知正负;第二类构造的函数的导数为一个具体函数,操作步骤如上题所演示.
练习:已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,则下面正确的是( )
Af(x)>0
Bf(x)<0
Cf(x)>x
Df(x)<x
答案A.
提示:
x>0时2xf(x)+x2f′(x)>x3>0 x<0时2xf(x)+x2f′(x)<x3<0
故g(x)=x2f(x)≥g(0)=0,易得f(x)>0
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