MT【283】图像有唯一公共点.
函数f(x)=n√x(n−lnx),其中n∈N∗,x∈(0,+∞).
(1)若n为定值,求f(x)的最大值.
(2)求证:对任意m∈N+,有ln1+ln2+⋯+ln(m+1)>2(√m+1−1)2;
(3)若n=2,lna≥1,求证:对任意k>0,直线y=−kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.
分析:
1)f(x)≤f(1)即n√x(n−lnx)≤n
2)由(1),取n=2得lnx≥2−2√x;注意到1√k≤2(√k−√k−1)
故m+1∑k=2lnk≥m+1∑k=2(2−2√k)
>m+1∑k=2[2−4(√k−√k−1)]
=2m−4(√m+1−√1)=2(√m+1−1)2
(3)−kx+a=f(x)有唯一解变形成−k=√x(2−lnx)−ax有唯一解.
令t=√x>0记g(t)=t(2−2lnt)−at2则由题意只需证明y=−k<0与y=g(t)的图像有唯一公共点.
∵
又g^{'}(t)=\dfrac{-2t(2-\ln t)+2a}{t^3}\ge 0,(\textbf{由}h(t)=-2t(2-\ln t)+2a\ge h(e)=2(a-e)\ge0\textbf{可得})
故由图可知对任意k>0,y=-k与y=g(t)由唯一公共交点.
注:这种图像唯一交点的题目通常可以通过上述方法,类似与参数分离,说明图像的变化趋势可得.
练习:(2018浙江高考压轴题)已知f(x)=\sqrt{x}-\ln x
(2)若a\le3-4\ln2,证明:对于任意k,直线y=kx+a与y=f(x)有唯一公共点.
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