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MT【283】图像有唯一公共点.

函数f(x)=nx(nlnx),其中nN,x(0,+).
(1)若n为定值,求f(x)的最大值.
(2)求证:对任意mN+,有ln1+ln2++ln(m+1)>2(m+11)2;
(3)若n=2,lna1,求证:对任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.


分析:
1)f(x)f(1)nx(nlnx)n
2)由(1),取n=2lnx22x;注意到1k2(kk1)
m+1k=2lnkm+1k=2(22k)
>m+1k=2[24(kk1)]
=2m4(m+11)=2(m+11)2
(3)kx+a=f(x)有唯一解变形成k=x(2lnx)ax有唯一解.
t=x>0g(t)=t(22lnt)at2则由题意只需证明y=k<0y=g(t)的图像有唯一公共点.

g^{'}(t)=\dfrac{-2t(2-\ln t)+2a}{t^3}\ge 0,(\textbf{由}h(t)=-2t(2-\ln t)+2a\ge h(e)=2(a-e)\ge0\textbf{可得})
故由图可知对任意k>0,y=-ky=g(t)由唯一公共交点.
注:这种图像唯一交点的题目通常可以通过上述方法,类似与参数分离,说明图像的变化趋势可得.

练习:(2018浙江高考压轴题)已知f(x)=\sqrt{x}-\ln x
(2)若a\le3-4\ln2,证明:对于任意k,直线y=kx+ay=f(x)有唯一公共点.

 

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