MT【281】最大值函数

已知正系数二次函数$ax^2+bx+c=0$有实数根,证明:$\max\{a,b,c\}\ge\dfrac{4}{9}(a+b+c)$

证明:$\max\{a,b,c\}=\dfrac{a+c+|a-c|+2b+|a+c+|a-c|-2b|}{4}\ge\dfrac{4}{9}(a+b+c)$
等价于$9|a-c|+9|a+c+|a-c|-2b|+2b\ge 7(a+c)$
等价于$9\max\{|2a-2b+|a-c|,||a-c|-2c-2b|\}+2b\ge 7(a+c)$
$\because 9\max\{|2a-2b+|a-c|,||a-c|-2c-2b|\}+2b\ge9(a+c)+2b\ge7(a+c)$
得证.