MT【280】最小值函数
已知正系数二次函数ax^2+bx+c=0有实数根,证明:\min\{a,b,c\}\le\dfrac{a+b+c}{4}
证明:\min\{a,b,c\}=\dfrac{a+c-|a-c|+2b-|a+c-|a-c|-2b|}{4}\le\dfrac{a+b+c}{4}
等价于|a-c|+|a+c-|a-c|-2b|\ge b
等价于\max\{|2a-2b-|a-c|,|2b+|a-c|-2c|\}\ge b
\because \max\{|2a-2b-|a-c|,|2b+|a-c|-2c|\}\ge|2b+|a-c|-(a+c)|=|b+b-(a+c-|a-c|)|\ge b
最后一步是由于
b^2\ge 4ac=(a+c)^2-(a-c)^2\ge(a+c)^2+(a-c)^2-2|a+c||a-c|=(|a-c|-(a+c))^2
得证.
注:另外证明:\dfrac{a+b+c}{4}\ge\sqrt[4]{a(\frac{b}{2})^2c}\ge \sqrt[4]{a^2c^2}\ge\min\{a,b,c\}
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