MT【278】二次齐次化
对于c>0,当非零实数a,b满足4a^2-2ab+4b^2-c=0,且使|2a+b|最大时,\dfrac{3}{a}-\dfrac{4}{b}+\dfrac{5}{c}的最小值为_____
分析:此类题要知道方法是很简单的,重在平时积累,此题是2014年的高考填空压轴题,和2008年华约自招三一题类似.
构造(2a+b)^2-k(4a^2-2ab+4b^2)=0,令\dfrac{a}{b}=t, 得
(4-4k)t^2+(4+2k)t+1-4k=0令\Delta =0得k=0或k=\dfrac{8}{5},
易知k=\dfrac{8}{5}时(2a+b)^2有最大值\dfrac{8}{5}c,
容易知道取到最大值时a=\dfrac{3}{2}b,c=10b^2故\dfrac{3}{a}-\dfrac{4}{b}+\dfrac{5}{c}=\dfrac{1}{2b^2}-\dfrac{2}{b}\ge-2
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