随笔分类 - 自主招生
自主招生，高考压轴题，浙江省数学竞赛或高中数学联赛一试相应难度的竞赛题.
摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试7)
已知数列$\{x_n\}$，其中$x_1=a$，$x_2=b$，$x_{n+1}=x_n+x_{n-1}$（$a,b$是正整数），若$2008$为数列中的某一项，则$a+b$可能的取值有( )
A.8 B.9 C.10 D.11
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摘要：(2018浙江省赛14题)
将$2n(n\ge2)$个不同的整数分成两组$a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n$.
证明:$\sum|a_i-b_j|-\sum{\left(|a_j-a_i|+|b_j-b_i|\right)}\ge n$
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摘要：(2018浙江省赛13题)
设实数$x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$满足$x_{n+1}^2\le x_nx_{n+2},(n=1,2,\cdots,2016)$和$\prod\limits_{k=1}^{2018}x_k=1$
证明:$x_{1009}x_{1010}\le1.$
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摘要：(2018浙江省赛12题)
设$a\in R$,且对任意的实数$b$均有$\max\limits_{x\in[0,1]}|x^2+ax+b|\ge1$求$a$的范围_____
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摘要：(2018浙江省赛9题)
设$x,y\in R$满足$x-6\sqrt{y}-4\sqrt{x-y}+12=0$,求$x$的范围______
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摘要：(2018,4月学考数学选择最后一题)
如图,设矩形$ABCD$所在平面与梯形$ACEF$所在平面相交于$AC$.
若$AB=1,BC=\sqrt{3},AF=EF=EC=1,$则下面二面角的平面角为定值的是( )
$A.F-AB-C$ $B.B-EF-D$ $C.A-BF-C$ $D.B-AF-D$
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摘要：平面上$2n$个点$(n>1,n\in N)$,无三点共线,任意两点连线段,将其中任意$n^2+1$条线段染红色.求证:三边都为红色的三角形至少有$\left[\dfrac{2}{3}(n+\dfrac{1}{n})\right]$ 个.
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摘要：已知$a,b>0$，则$m=\dfrac{b^2+2}{a+b}+\dfrac{a^2}{ab+1}$的最小值是______
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摘要：问题:满足下面两种限制条件下要想称出40以内的任何整数重量,最少要几个砝码:
i)如果砝码只能在天平的某一边;
ii)如果砝码可以放在天平的两边.
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摘要：(清华大学THUSSAT)
已知 $a=\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)^{-10}+\left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)^{-10},\ b=\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)^{10}+\left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)^{10}$,则点 $P(a,b)$ 的坐标为_____
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摘要：(中国第59届国际数学奥林匹克国家集训队2018.3.20日测试题)
证明:存在常数$C>0$使得对于任意的正整数$m$,以及任意$m$个正整数$a_1,a_2,\cdots,a_m$,都有
$H(a_1)+H(a_2)+\cdots+H(a_m)\le C\left(\sum\limits_{k=1}^m{ka_k}\right)^{\frac{1}{2}}$
其中$H(n)=\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{k}}$
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摘要：数列$\{a_n\}$共11项,$a_1=0,a_{11}=4$,且$|a_{k+1}-a_{k}|=2,k=1,2,\cdots,10$
求满足条件的不同的数列的个数______
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摘要：已知函数$f(x)=-x^3-3x^2+(1+a)x+b(a<0,b\in R)$,
若$|f(x)|$在$[-2,0]$上的最大值为$M(a,b)$,求$M(a,b)$的最小值
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摘要：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}\cdot a_n=\dfrac 1n$($n\in\mathbb N^*$)．
(1) 求证：$\dfrac{a_{n+2}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}$；
(2) 求证：$2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\leqslant \dfrac{1}{2a_3}+\dfrac{1}{3a_4}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+2}}\leqslant n$．
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摘要：(清华THUSSAT，多选题)
平面上 4 个不同点 $P_1,P_2,P_3,P_4$，在每两个点之间连接线段得到 6 条线段. 记
$$L=\max{|P_iP_j|},\ l=\min{|P_iP_j|},$$
对任意三点不共线的所有四点组 $P_1,P_2,P_3,P_4$，把 $\dfrac{L}{l}$ 的取值集合记为 $P$，则
A.$0.5 \in P$
B.$1 \in P$
C.$\sqrt{2} \in P$
D.$2 \in P$
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摘要：求证：$1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots +\dfrac{1}{n^2}+\cdots = \dfrac{\pi^2}6$．
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摘要：已知$\{a_n\}$满足$a_1=1,a_2=2,\dfrac{a_{n+2}}{a_n}=\dfrac{a_{n+1}^2+1}{a_n^2+1}$, 求$[a_n]$_____
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摘要：评：1.这里处理第三个函数时用到$ab-a-b=(a-1)(b-1)-1$是处理$ab,a+b$之间加减的常见变形。 2.第二个函数$g(x)=sinx,x\in(0,\frac{5\pi}{6})$时是“保三角函数”，这里的$\frac{5\pi}{6}$是区间(0,A)类型的 A的上确界。(具体做法可以看李胜宏，金蒙伟编的从自主招生到竞赛的教材P101。)
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摘要：分析:处理恒成立问题，一般先代特殊值缩小范围。令x=0,则f(a)<f(0),容易知a<0.排除答案C。容易理解a趋向于0时候,是可以的,排除D.在剩余的A,B选项里，显然偏向于A。因为A里的端点在四个选项里出现的最多.(如果实在不会做或者没时间，以上分析是不错的猜选择题的方法)接下来我们再细致分析一下：刚才已经知道a<0,所以y=f(x+a)可以由y=f(x)向右平移|a|个单位得到.结合图像可...
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摘要：解：如图将正四面体放到立方体中，让AB通过$\alpha$面，让$\alpha$面绕着AB动起来。问题就转化成为EF与面$\alpha$线面角$\theta$了。EF的投影为$|EF|cos\theta$.由于$<EF,AB>=\frac{\pi}{4}$故有线面角的最小性得$0\le\theta\
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