随笔分类 - 自主招生
自主招生，高考压轴题，浙江省数学竞赛或高中数学联赛一试相应难度的竞赛题.
摘要：已知$f(x)=2\sqrt{(\cos x+\frac{1}{2})^2+\sin^2 x}-\sqrt{\cos^2 x+(\sin x-\frac{1}{2})^2}$,若$m\ge f(x)$恒成立,求$m$的范围_______.
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摘要：(2012浙江压轴题)
已知$a>0,b\in R$,函数$f(x)=4ax^3-2bx-a+b$.
1)证明:当$0\le x\le 1$时,
i)函数$f(x)$的最大值为$|2a-b|+a;$
ii)$f(x)+|2a-b|+a\ge0$
2)若$-1\le f(x)\le 1$对$x\in[0,1]$恒成立,求$a+b$的范围.
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摘要：(2017北大特优)若对任意使得关于 \(x\) 的方程 \(ax^2+bx+c=0\)（\(ac\ne 0\)）有实数解的 \(a,b,c\) 均有 \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant rc^2\)，则实数 \(r\) 的最大值是______
A．\(1\)
B．\(\frac 98\)
C．\(\frac{9}{16}\)
D．\(2\)
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摘要：(2017北大特优)求$9\tan 10^\circ+2\tan 20^\circ+4\tan 40^\circ-\tan 80^\circ=$_____
A．$0$
B.$\dfrac{\sqrt 3}3$
C．$1$
D．$\sqrt 3$
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摘要：已知$\alpha+\beta+\gamma=\pi,(\alpha,\beta,\gamma\ge0)$ 求:$3\cos\alpha+4\cos\beta+5\cos\gamma$的最大值______
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摘要：在四边形$ABCD$中,若$AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,AC=e,BD=f$,则
$$a^2c^2+b^2d^2=d^2f^2+2abcd\cos(A+C).$$
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摘要：已知$f(x)=x^2+(a-4)x+1+|x^2-ax+1|$的最小值为$\dfrac{1}{2}$,则$a$=______
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摘要：已知满足不等式$|x^2-4x+a|+|x-3|\le5$的最大值为$3$,求实数$a$的值,并解该不等式.
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摘要：(2011安徽省赛)设$f(x)=ax^3+bx+c(a,b,c\in R)$,当$0\le x \le1$时,$0\le f(x)\le1$,求$b$的可能的最大值.
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摘要：设函数$f(x)=3ax^2-2(a+b)x+b,$其中$a>0,b\in R$
证明:当$0\le x\le 1$时,$|f(x)|\le \max\{f(0),f(1)\}$
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摘要：设函数$f(x)=\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{\lambda}{x-2}$,其中$a,\lambda\in R$
记$A_1=\{(x,y)|x>0,y>0\},A_2=\{(x,y)|x<0,y>0\},A_3=\{(x,y)|x>0,y<0\},$
$A_4=\{(x,y)|x<0,y<0\},M=\{(x,y)|y=f(x)\}$,
若对任意的$\lambda\in(1,3),M\cap A_i\ne \varnothing(i=1,2,3,4) $,求$a$的范围.
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摘要：已知实数$a,b$满足$a^2-ab-2b^2=1,$则$a^2+b^2$的取值范围_____
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摘要：求$\max\{x^2+2y+20,y^2-6x+12\}$的最小值______
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摘要：(2008年北大自招)
已知$a_1,a_2,a_3;b_1,b_2,b_3$满足
$a_1+a_2+a_3=b_1+b_2+b_3$
$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1=b_1b_2+b_2b_3+b_3b_1$
$\min\{a_1,a_2,a_3\}\le \min\{b_1,b_2,b_3\}$;
求证:$\max\{a_1,a_2,a_3\}\le \max\{b_1,b_2,b_3\}$;
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摘要：对任意 2 个 1,2,3,4,5,6 的全排列 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ 和 $(b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6)$，求$\displaystyle S=\sum_{i=1}^6 ia_ib_i$ 的最小值______
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摘要：已知$\Delta ABC$满足$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2\sqrt{3}\sin A\sin B\sin C,a=2$,求$A$
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摘要：已知函数$f(x)=|x^3+3x^2-ax-b|$,对任意$a,b\in R$存在$x\in[-3,0]$使得$f(x)\le m$成立,求$m$的范围.
求 $\displaystyle\min_{a,b\in\mathbb{R}}\max_{x\in[-3,0]}|x^3+3x^2-ax-b|$.
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摘要：已知$x\ge0,x^2+(y-2)^2=1,W=\dfrac{3x^2+2\sqrt{3}xy+5y^2}{x^2+y^2}$,求$W$的最小值_____
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摘要：$P,Q$是两个定点,M为平面内一个动点,且$\dfrac{|MP|}{|MQ|}=\lambda(\lambda>0,\lambda\ne1)$, 点M的轨迹围成的区域面积为S , 设$S=f(\lambda)$,则（ ）
A.$f(\lambda)$在$(0,1)$单调递增,在$(1,+\infty)$单调递减
B.$f(\lambda)$在$(0,1)$单调递减,在$(1,+\infty)$单调递增
C.$f(\lambda)$在$(0,1),(1,+\infty)$单调递增
D.$f(\lambda)$在$(0,1),(1,+\infty)$单调递减
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摘要：$\textbf{证明:}$对任意$a,b\in R^+$, $\dfrac{1}{\sqrt{a+2b}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+4b}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+6b}}<\dfrac{6}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a+7b}}$
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