随笔分类 - 自主招生

自主招生，高考压轴题，浙江省数学竞赛或高中数学联赛一试相应难度的竞赛题.

MT【214】焦点弦长公式

摘要：已知椭圆焦点为

$F_1(-1,0),F_2(1,0)$ ,且椭圆与直线

$y=x-\sqrt{3}$ 相切,求 (1)椭圆的方程 (2)过

$F_1$ 作两条相互垂直的直线

$l_1,l_2$ 与椭圆相交于

$P,Q,M,N$ ,求四边形

$PNQM$ 的面积的最大值和最小值. 阅读全文

posted @ 2018-09-16 21:48 M.T 阅读(2081) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【212】合作共赢

摘要：一次会议有1990位数学家参加，每人至少有过1327位合作者，求证:可以找到4位数学家，他们中每一个都合作过. 阅读全文

posted @ 2018-09-16 20:35 M.T 阅读(251) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【210】四点共圆+角平分线

摘要：（2018全国联赛解答最后一题）在平面直角坐标系

$xOy$ 中，设

$AB$ 是抛物线

$y^2=4x$ 的过点

$F(1,0)$ 的弦，

$\Delta{AOB}$ 的外接圆交抛物线于点

$P$ （不同于点

$A,O,B$ ），若

$PF$ 平分

$\angle{APB}$ ，求

$PF|$ 所有可能值。阅读全文

posted @ 2018-09-09 22:18 M.T 阅读(752) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【209】打破对称

摘要：设正数

$a,b,c$ 满足

$ab+bc+ca=47$ ,求

$(a^2+5)(b^2+5)(c^2+5)$ 的最小值_____ 阅读全文

posted @ 2018-08-12 21:07 M.T 阅读(271) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【208】埃尔米特恒等式

摘要：设

$S=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}[\dfrac{116+3^{k-1}}{3^k}]\\ T=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}[\dfrac{116+23^{k-1}}{3^k}]\\$ 则S+T=_____ 阅读全文

posted @ 2018-08-12 20:58 M.T 阅读(1545) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【207】|ax^2+bx+c|中判别式

$\Delta$ 的含义

摘要：已知

$a,b\in R^+,a+b=2$ 且对任意的

$x\in R$ ,均有

$|2x^2+ax-b|\ge|x^2+cx+d|$ 则

$\dfrac{d-4c}{cd}$ 的最小值______ 阅读全文

posted @ 2018-08-12 14:36 M.T 阅读(473) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【206】证明整数数列

摘要：已知方程

$x^3-x^2-x+1=0$ ,的三根根为

$a,b,c$ , 若

$k_n=\dfrac{a^n-b^n}{a-b}+\dfrac{b^n-c^n}{b-c}+\dfrac{c^n-a^n}{c-a}$ 证明:

$\{k_n\}$ 为整数数列。阅读全文

posted @ 2018-08-12 14:23 M.T 阅读(330) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【205】寻找对称中心

摘要：函数

$f(x)=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\cdots+\dfrac{x+2018}{x+2019}$ 的图像的对称中心_____ 阅读全文

posted @ 2018-08-12 14:05 M.T 阅读(663) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT2018暑期新高二竞赛试题精选

$\dfrac{50}{365}$ 密码提示：（下题的四字全拼） A、B两队进行乒乓球团体对抗赛，每队各三名队员，每名队员出场一次。A队的三名队员是

$A_1,A_2,A_3$ ，B队三名队员是

$B_1, B_2, B_3,$ 且

$A_i$ 对

$B_j$ 的胜率为

$\dfrac{i}{i+j}(1\le i, j\le3)$ ,胜者得1 分,则A 队得分期望的最大可能值是

该文被密码保护。

posted @ 2018-08-11 21:34 M.T 阅读(17) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【204】离散型最值

摘要：(联赛一试2006,14)．将2006表示成5个正整数

$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 之和．记

$S=\sum\limits_{1\le {i}<{j}\le5}{x_ix_j}$ 问： (1) 当

$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 取何值时，S取到最大值； (2) 进一步地，对任意

$1\le i,j\le 5$ 有

$|x_i-x_j|\le 2,$ 当

$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 取何值时,S取到最小值. 说明理由．阅读全文

posted @ 2018-08-07 22:34 M.T 阅读(345) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【203】连续型的最值

摘要：已知

$-6\le x_i\le 10 (i=1,2,\cdots,10),\sum\limits_{i=1}^{10}x_i=50,$ 当

$\sum\limits_{i=1}^{10}x^2_i=50$ 取到最大值时,在

$x_1,\cdots ,x_{10}$ 这十个数中等于

$-6$ 的数共有______ 阅读全文

posted @ 2018-08-07 21:44 M.T 阅读(282) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【201】折线计数

摘要：甲乙两人参加竞选，结果甲得n票，乙得m票(n > m) . 则在唱票过程中，甲的累计票数始终超过乙的累计票数的概率是_____________．阅读全文

posted @ 2018-08-03 20:14 M.T 阅读(338) 评论(1) 推荐(0) 编辑

MT【200】一道自招的不等式

摘要：(2018武汉大学自招)设

$x,y,z\ge0,xy+yz+zx=1$ 证明:

$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge \dfrac{5}{2}$ 阅读全文

posted @ 2018-06-18 17:09 M.T 阅读(1110) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【199】映射的个数

摘要：(2018中科大自招) 设

$S=\{1,2,3,4,5\}$ 则满足

$f(f(x))=x$ 的映射:

$S \longrightarrow S$ 的个数____ 阅读全文

posted @ 2018-06-10 21:12 M.T 阅读(848) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【198】连乘积放缩

摘要：(2018中科大自招最后一题) 设

$a_1=1,a_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^3(n+a_n)$ 证明: (1)

$a_n=n^3\left(1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k^2}\right); (2)\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\dfrac{k}{a_k}\right)<3$ 阅读全文

posted @ 2018-06-10 21:05 M.T 阅读(715) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【197】存在

$a,b$ 对于任意的

$x$

摘要：已知

$f(x)=ax^2+bx-\dfrac{1}{4}$ ,若存在

$a,b\in R$ ,使得对于任意的

$x\in[0,7],|f(x)|\le2$ 恒成立,求

$|a|$ 的最大值____ 阅读全文

posted @ 2018-06-03 21:40 M.T 阅读(434) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【195】三次函数

摘要：(2016年清华大学自主招生暨领军计划试题) 已知

$x,y,z\in \mathbf{R}$ ，满足

$x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=1$ ，则下列结论正确的有（　　） A．

$xyz$ 的最大值为

$0$ B．

$xyz$ 的最小值为

$-\dfrac{4}{27}$ C．

$z$ 的最大值为

$\dfrac{2}{3}$ D．

$z$ 的最小值为

$-\dfrac{1}{3}$ 阅读全文

posted @ 2018-05-22 17:22 M.T 阅读(661) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【194】又见和式变换

摘要：(2007浙江省赛B卷最后一题)设

$\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}=1,x_i>0,$ 求证:

$n\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2}-\sum\limits_{j>i}{\dfrac{(x_i-x_j)^2}{x_i+x_j}}\le1$ 阅读全文

posted @ 2018-05-22 14:18 M.T 阅读(517) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【193】三面角的正余弦定理

摘要：(原题为浙江名校新高考研究联盟2018届第三次联考选择压轴题) 在平面

$\alpha$ 内，已知

$AB\perp BC$ ,过直线

$AB,BC$ 分别作平面

$\beta,\gamma$ ，使得锐二面角

$\alpha-AB-\beta$ 为

$\dfrac{\pi}{3}$ ，锐二面角

$\alpha-BC-\gamma$ 为

$\dfrac{\pi}{3}$ ，则平面

$\beta$ 和平面

$\gamma$ 所成的锐二面角的余弦值为____ 阅读全文

posted @ 2018-05-21 20:30 M.T 阅读(3639) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【192】又是绝对值函数

摘要：(2018浙江新高考联盟2018第三次联考填空压轴题) 已知

$f(x)=x^2+x-2$ ,若函数

$g(x)=|f(x)|-f(x)-2mx-2m^2$ 有三个不同的零点,则实数

$m$ 的取值范围是______. 阅读全文

posted @ 2018-05-21 19:23 M.T 阅读(389) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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