随笔分类 - 自主招生

自主招生，高考压轴题，浙江省数学竞赛或高中数学联赛一试相应难度的竞赛题.

MT【244】调和分割

摘要：已知椭圆方程:

$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ ,过点

$P(1,1)$ 的两条直线分别与椭圆交于点

$A,C$ 和

$B,D$ ,且满足

$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PC},\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{PD}$ , 当

$\lambda$ 变化时,直线

$AB$ 的斜率是否为定值?若是求此定值. 阅读全文

posted @ 2018-11-04 13:44 M.T 阅读(749) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【243】球内接四面体体积

摘要：已知半径为2的球面上有

$A,B,C,D$ 四点,若

$AB=CD=2$ ,则四面体

$ABCD$ 的体积最大为____ 阅读全文

posted @ 2018-11-01 08:35 M.T 阅读(810) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【239】离心率最大

摘要：已知点

$A$ 为椭圆

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左顶点,

$O$ 为坐标原点,过椭圆的右焦点

$F$ 作垂直于

$x$ 轴的直线

$l$ .若直线

$l$ 上存在点

$P$ 满足

$\angle{APO}=30^{0}$ ,则椭圆的离心率的最大值为_____ 阅读全文

posted @ 2018-10-27 23:14 M.T 阅读(343) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【238】内心轨迹

摘要：已知

$F_1,F_2$ 为椭圆

$C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左右焦点,点

$P$ 在椭圆

$C$ 上移动时,

$\Delta{F_1PF_2}$ 的内心

$I$ 的轨迹方程为_____ 阅读全文

posted @ 2018-10-27 22:49 M.T 阅读(413) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【237】阿基米德三角形的一些常见性质

摘要：特别的,如图

$AB$ 是焦点弦时,

$M$ 为

$AB$ 中点,

$N$ 为

$MQ$ 的中点,则

$1)AQ\bot BQ$

$2)MQ\parallel y\textbf{轴}$

$3)N\textbf{在抛物线上}$

$4)N\textbf{处的切线}\parallel AB$

$5)FQ\bot AB$ 阅读全文

posted @ 2018-10-27 22:22 M.T 阅读(6877) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【234】正方形染色（二)

摘要：有

$n$ 个正方形排成一行,今用红,白,黑三种颜色给这

$n$ 个正方形染色,每个正方形只能染一种颜色.如果要求染这三种颜色的正方形都是偶数个,问有多少种不同的染色方法. 阅读全文

posted @ 2018-10-24 18:57 M.T 阅读(400) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【233】染色正方形

摘要：有

$n$ 个正方形排成一行,今用红,白,黑三种颜色给这

$n$ 个正方形染色,每个正方形只能染一种颜色.如果要求染白色的正方形必须是偶数个,问有多少种不同的染色方法. 阅读全文

posted @ 2018-10-24 18:31 M.T 阅读(442) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【232】展开式中的系数

摘要：

$(1+x+x^2+\cdots+x^{100})^3$ 展开式中

$x^{150}$ 前的系数为_____ 阅读全文

posted @ 2018-10-23 16:55 M.T 阅读(364) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【231】棋子方法数

摘要：设有5枚无区别的棋子放在如图

$5*5$ 的棋盘的小方格中,放棋子的规则是每行每列放且仅放一个棋子,同时,不允许放在黑方格内,则共有______ 方法. 阅读全文

posted @ 2018-10-23 16:52 M.T 阅读(242) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【230】一道代数不等式

摘要：设

$a,b,c>0,$ 满足

$a+b+c\le abc$ 证明:

$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le\dfrac{3}{2}$ 阅读全文

posted @ 2018-10-18 12:52 M.T 阅读(471) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【228】整数解的个数

摘要：求方程

$x+y+z=24$ 的整数解的个数,要求

$1\le x\le 5,12\le y\le 18,-1\le z\le12$ 阅读全文

posted @ 2018-10-16 08:39 M.T 阅读(694) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【227】换钱的总数

摘要：(2012复旦)将1张面值100元的人民币全部换成面值1角,2角,5角的人民币,不同的换法有多少种? 阅读全文

posted @ 2018-10-15 09:01 M.T 阅读(422) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【226】费马点两题

摘要：已知

$z_1=2\sqrt{3}i,z_2=3,z_3=-3,|z_3-z_4|=2\sqrt{3},$ 则

$|z_1-z_4|+|z_2-z_4|$ 的最小值为_____ 阅读全文

posted @ 2018-10-15 08:39 M.T 阅读(437) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【225】两平行直线夹曲线

摘要：已知函数

$f(x)=x^3-3ax,(x\in(0,1))$ 若关于

$x$ 的不等式

$|f(x)|\le \dfrac{1}{4}$ 恒成立,求实数

$a=$ ____ 阅读全文

posted @ 2018-10-07 11:18 M.T 阅读(282) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【224】反解系数

摘要：(2011安徽省赛)

$f(x)=ax^3+bx+c(a,b,c\in R),$ 当

$0\le x \le 1$ 时,

$0\le f(x)\le 1$ ,求

$b$ 的可能的最大值. 阅读全文

posted @ 2018-10-07 10:50 M.T 阅读(336) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【223】二次函数最大最小

摘要：若函数

$f(x)=ax^2+20x+14(a>0)$ 对任意实数

$t$ ,在闭区间

$[t-1,t+1]$ 上总存在两实数

$x_1,x_2$ ,使得

$|f(x_1)-f(x_2)|\ge8$ 成立,则实数

$a$ 的最小值为____ 阅读全文

posted @ 2018-09-28 19:27 M.T 阅读(455) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【220】三次方程必有实根

摘要：设

$f(x)=x^2+ax+b,g(x)=x^2+cx+d$ ，如果

$f(g(x))=g(f(x))$ 没有实根,求证:

$b\ne d$ 阅读全文

posted @ 2018-09-24 12:59 M.T 阅读(647) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【219】构造二次函数

摘要：(2012北大保送)已知

$f(x)$ 是二次函数,且

$a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))$ 是正项等比数列;求证:

$f(a)=a$ 阅读全文

posted @ 2018-09-24 12:52 M.T 阅读(439) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【218】交点个数

摘要：若函数

$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 有极值点

$x_1,x_2$ ,且

$f(x_1)=x_1$ ,则关于

$x$ 的方程

$3(f(x))^2+2af(x)+b=0$ 的不同实数根个数为_____ 阅读全文

posted @ 2018-09-24 12:07 M.T 阅读(200) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【217】韦达定理应用

摘要：若2018次方程

$x^{2018}-4036x^{2017}+a_{2016}x^{2016}+\cdots+a_1x+a_0=0$ 有2018个正实数, 则对于所有可能的方程

$\sum\limits_{i=0}^{2016}|a_i|$ 的最大值为_____ 阅读全文

posted @ 2018-09-21 16:18 M.T 阅读(399) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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