随笔分类 - 自主招生

自主招生，高考压轴题，浙江省数学竞赛或高中数学联赛一试相应难度的竞赛题.

MT【355】一个强有力的几何不等式

摘要：已知

$\Delta{ABC},AB=c,BC=a,CA=b,P$ 为平面内任意一点.证明:

$(PA+PB+PC)^2\ge\sqrt{3}(a\cdot PA+b\cdot PB+c\cdot PC)$ 阅读全文

posted @ 2019-12-17 09:40 M.T 阅读(1007) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【354】又一道极值点偏移

摘要：(2014天津)已知函数

$f(x)=x-ae^x(a\in R)$ ,有两个零点

$x_1,x_2,(x_1{<}x_2)$ (1)求

$a$ 的取值范围; (2)证明:

$\dfrac{x_2}{x_1}$ 随着

$a$ 的减小而增大; (3)证明:

$x_1+x_2$ 随着

$a$ 的减小而增大. 阅读全文

posted @ 2019-08-24 16:24 M.T 阅读(924) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【352】极值点偏移

摘要：

$0{<}x{<}y,x^y=y^x$ ,证明:

$x+y{>}2e$ 阅读全文

posted @ 2019-08-20 11:28 M.T 阅读(1147) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【351】行列式面积公式

摘要：(中科大2019)已知平面坐标系上三点

$A(1,0),B(0,1),C(x,\dfrac{1}{\sqrt{x}})$ 求

$\Delta ABC$ 面积的最小值___ 阅读全文

posted @ 2019-08-20 10:55 M.T 阅读(1165) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【349】同时取到

摘要：已知

$\theta \in[0,\pi]$ 求

$2\cos\theta-\sin\theta-\dfrac{\sin\theta+\sqrt{5}}{\cos\theta+\sqrt{5}}$ 的最小值_____ 阅读全文

posted @ 2019-08-16 21:18 M.T 阅读(852) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【348】反函数图像解题

摘要：设实数

$\lambda >0$ ,若对任意的

$x\in(e^2,+\infty)$ ,不等式

$\lambda e^{\lambda x}-\ln x>0$ 恒成立,则

$\lambda$ 的最小值为_____ 阅读全文

posted @ 2019-08-14 21:46 M.T 阅读(1023) 评论(2) 推荐(0) 编辑

MT【346】拐点处分界

摘要：已知函数

$f(x)=-x^3+9x^2-26x+27$ ,对任意

$k>0$ ,直线

$y=kx+a$ 与曲线

$y=f(x)$ 有唯一公共点,求

$a$ 的取值范围. 阅读全文

posted @ 2019-08-14 09:07 M.T 阅读(473) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【345】三个绝对值的和

摘要：已知三个单位向量

$\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c}$ 满足

$\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c}=\textbf{0},\textbf{e}$ 是该平面内任意的单位向量求

$2|\textbf{e}\cdot\textbf{a}|+3|\textbf{e}\cdot\textbf{b}|+4|\textbf{e}\cdot\textbf{c}|$ 的最大值阅读全文

posted @ 2019-08-13 21:50 M.T 阅读(823) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【344】构造函数

摘要：(2014卓越11) 已知

$f(x)$ 为

$R$ 上的可导函数,且对

$\forall x_0\in R$ 有

$0{<}f^{'}(x+x_0)-f^{'}(x_0){<}4x(x{>}0)$ . (1)对

$\forall x_0\in R$ ,证明:

$f^{'}(x_0){<}\dfrac{f(x+x_0)-f(x_0)}{x} (x{>}0)$ (2)若

$|f(x)|\le1,x\in R$ ,证明:

$|f^{'}(x)|\le 4$ . 阅读全文

posted @ 2019-08-13 21:24 M.T 阅读(465) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【342】条件为非负实数

摘要：已知

$x,y,z$ 为非负实数,满足

$(x+\dfrac{1}{2})^2+(y+1)^2+(z+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{27}{4}$ , 则

$x+y+z$ 的最小值为______ 阅读全文

posted @ 2019-08-11 22:01 M.T 阅读(765) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【340】彭塞列闭合定理

摘要：如图,设点

$P$ 时抛物线

$C_1:y^2=4x$ 上的动点,过

$P$ 作圆

$C_2:(x-3)^2+y^2=r^2(r>0)$ 的两条切线交抛物线

$C_1$ 于

$A,B$ 两点,其中

$M,N$ 为切点.若过

$A,B$ 两点的直线恒与

$C_2$ 相切,求

$r$ 的值. 阅读全文

posted @ 2019-05-11 11:25 M.T 阅读(2606) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【335】最多有几个

摘要：已知等差数列

$\{a_n\}$ 满足:

$|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|=|a_1+1|+|a_2+1|+\cdots+|a_n+1|=|a_1-1|+|a_2-1|+\cdots+|a_n-1|=98$ 则

$n$ 的最大值为_____ 阅读全文

posted @ 2019-05-08 22:07 M.T 阅读(461) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【333】二次曲线系方程

摘要：已知椭圆

$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 的下顶点为

$A$ ,若直线

$x=ty+4$ 与椭圆交于不同的两点

$M,N$ 则当

$t=$ ______时,

$\Delta AMN$ 外心的横坐标最大. 阅读全文

posted @ 2019-05-04 13:55 M.T 阅读(1296) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【332】椭圆正交变换

摘要：(2018河南数学联赛解答10)已知方程

$17x^2-16xy+4y^2-34x+16y+13=0$ 表示椭圆, 求它的对称中心和对称轴. 阅读全文

posted @ 2019-04-23 19:29 M.T 阅读(1422) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT 【331】两元非齐次不等式

摘要：若正实数

$x,y$ 满足

$x^3+y^3=(4x-5y)y$ 则

$y$ 的最大值为____ 阅读全文

posted @ 2019-04-23 12:26 M.T 阅读(422) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【330】u,v,w法

摘要：已知

$a^2+b^2+c^2=1$ 求

$abc(a+b+c)$ 的最小值.(2018辽宁预赛解答压轴题) 阅读全文

posted @ 2019-04-23 12:11 M.T 阅读(565) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【325】垂心的向量形式

摘要：设

$H$ 为垂心,且

$3\overrightarrow{HA}+4\overrightarrow {HB}+5\overrightarrow {HC}=\overrightarrow 0$ ,则

$\cos\angle AHB=$ ____ 阅读全文

posted @ 2019-04-09 09:04 M.T 阅读(1263) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【316】常数变易法

摘要：已知数列

$\{a_n\}$ 满足

$a_1=0,a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}a_n+1$ ,求

$a_n$ 阅读全文

posted @ 2019-03-18 12:21 M.T 阅读(688) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【314】正切比值

摘要：(05复旦)已知三角形

$\Delta ABC$ 满足

$\tan A:\tan B:\tan C=1:2:3$ ,求

$\dfrac{AC}{AB}$ ____ 阅读全文

posted @ 2019-03-18 08:42 M.T 阅读(440) 评论(0) 推荐(0) 编辑

MT【312】特征根法求数列通项

摘要：设数列

$\{a_n\}$ 满足

$a_1=5,a_2=13,a_{n+2}=\dfrac{a^2_{n+1}+6^n}{a_n}$ 则( ) A

$a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$ B

$\{a_n\}$ 中的项都是整数 C

$a_n>4^n$ D

$\{a_n\}$ 中与2015最接近的项为

$a_7$ 阅读全文

posted @ 2019-03-12 08:47 M.T 阅读(690) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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