随笔分类 - 自主招生
自主招生，高考压轴题，浙江省数学竞赛或高中数学联赛一试相应难度的竞赛题.
摘要：已知$\Delta{ABC},AB=c,BC=a,CA=b,P$为平面内任意一点.证明:
$(PA+PB+PC)^2\ge\sqrt{3}(a\cdot PA+b\cdot PB+c\cdot PC)$
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摘要：(2014天津)已知函数$f(x)=x-ae^x(a\in R)$,有两个零点$x_1,x_2,(x_1{<}x_2)$
(1)求$a$的取值范围;
(2)证明:$\dfrac{x_2}{x_1}$随着$a$的减小而增大;
(3)证明:$x_1+x_2$随着$a$的减小而增大.
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摘要：$0{<}x{<}y,x^y=y^x$,证明:$x+y{>}2e$
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摘要：(中科大2019)已知平面坐标系上三点$A(1,0),B(0,1),C(x,\dfrac{1}{\sqrt{x}})$求$\Delta ABC$面积的最小值___
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摘要：已知$\theta \in[0,\pi]$求$2\cos\theta-\sin\theta-\dfrac{\sin\theta+\sqrt{5}}{\cos\theta+\sqrt{5}}$的最小值_____
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摘要：设实数$\lambda >0$,若对任意的$x\in(e^2,+\infty)$,不等式$\lambda e^{\lambda x}-\ln x>0$恒成立,则$\lambda$的最小值为_____
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摘要：已知函数$f(x)=-x^3+9x^2-26x+27$,对任意$k>0$,直线$y=kx+a$与曲线$y=f(x)$有唯一公共点,求$a$的取值范围.
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摘要：已知三个单位向量$\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c}$满足$\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c}=\textbf{0},\textbf{e}$ 是该平面内任意的单位向量
求$2|\textbf{e}\cdot\textbf{a}|+3|\textbf{e}\cdot\textbf{b}|+4|\textbf{e}\cdot\textbf{c}|$ 的最大值
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摘要：(2014卓越11)
已知$f(x)$为$R$上的可导函数,且对$\forall x_0\in R$ 有$0{<}f^{'}(x+x_0)-f^{'}(x_0){<}4x(x{>}0)$.
(1)对$\forall x_0\in R$,证明:$f^{'}(x_0){<}\dfrac{f(x+x_0)-f(x_0)}{x} (x{>}0)$
(2)若$|f(x)|\le1,x\in R$,证明:$|f^{'}(x)|\le 4$.
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摘要：已知$x,y,z$为非负实数,满足$(x+\dfrac{1}{2})^2+(y+1)^2+(z+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{27}{4}$,
则$x+y+z$的最小值为______
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摘要：如图,设点$P$时抛物线$C_1:y^2=4x$上的动点,过$P$作圆$C_2:(x-3)^2+y^2=r^2(r>0)$的两条切线交抛物线$C_1$于$A,B$两点,其中$M,N$为切点.若过$A,B$两点的直线恒与$C_2$ 相切,求$r$的值.
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摘要：已知等差数列$\{a_n\}$满足:$|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|=|a_1+1|+|a_2+1|+\cdots+|a_n+1|=|a_1-1|+|a_2-1|+\cdots+|a_n-1|=98$ 则$n$的最大值为_____
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摘要：已知椭圆$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$的下顶点为$A$,若直线$x=ty+4$与椭圆交于不同的两点$M,N$则当$t=$______时,$\Delta AMN$外心的横坐标最大.
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摘要：(2018河南数学联赛解答10)已知方程$17x^2-16xy+4y^2-34x+16y+13=0$表示椭圆,
求它的对称中心和对称轴.
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摘要：若正实数$x,y$满足$x^3+y^3=(4x-5y)y$ 则 $y$ 的最大值为____
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摘要：已知$a^2+b^2+c^2=1$求$abc(a+b+c)$的最小值.(2018辽宁预赛解答压轴题)
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摘要：设$H$为垂心,且$3\overrightarrow{HA}+4\overrightarrow {HB}+5\overrightarrow {HC}=\overrightarrow 0$,则$\cos\angle AHB=$____
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摘要：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=0,a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}a_n+1$,求$a_n$
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摘要：(05复旦)已知三角形$\Delta ABC$满足$\tan A:\tan B:\tan C=1:2:3$,求$\dfrac{AC}{AB}$____
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摘要：设数列$\{a_n\}$满足$a_1=5,a_2=13,a_{n+2}=\dfrac{a^2_{n+1}+6^n}{a_n}$则( )
A$a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$
B$\{a_n\}$中的项都是整数
C$a_n>4^n$
D$\{a_n\}$中与2015最接近的项为$a_7$
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